函数性质：奇偶性与周期性 — IB 数学：分析与方法 HL
1. 奇偶性的代数定义 ★★☆☆☆ ⏱ 15 min
奇偶性的两类分别满足简单的代数条件： - 偶函数：对定义域内所有$x$都有$f(-x) = f(x)$ - 奇函数：对定义域内所有$x$都有$f(-x) = -f(x)$
2. 奇偶性的图像意义 ★★☆☆☆ ⏱ 10 min
奇偶性直接对应图像的对称性，这能让你快速判断奇偶性，加快绘图速度。
- 偶函数是对称**关于y轴对称**：将图像右半部分（$x>0$）沿y轴翻转即可得到完整图像。
- 奇函数是对称**关于原点对称**：将图像右半部分（$x>0$）绕原点旋转180°即可得到完整图像。对于奇函数图像上任意点$(a,b)$，点$(-a, -b)$也一定在该函数图像上。
3. 周期性与最小正周期 ★★★☆☆ ⏱ 20 min
对于形如$f(x) = A f(Bx + C) + D$的变换后三角函数： - 相移$C$和垂直平移$D$不影响周期 - 周期仅由函数内部$x$的系数$B$决定
- 对于$\sin(Bx + C)$，$\cos(Bx + C)$：最小正周期$T = \frac{2\pi}{|B|}$
- 对于$\tan(Bx + C)$，$\cot(Bx + C)$：最小正周期$T = \frac{\pi}{|B|}$
Exam tip: 一定要使用B的绝对值，因为周期始终为正数。
Common Pitfalls
Why: 大多数函数不满足任何一种奇偶性条件
Why: 如果定义域不关于原点对称（例如定义在$x \geq 0$上的$f(x) = x^2$），函数不可能具有奇偶性
Why: 周期是正量，负的B不会改变周期的大小
Why: 相移仅将图像水平平移，不会改变图像重复的频率
Why: 混淆了水平拉伸对周期的影响：B增大会让图像水平压缩，周期减小