定义域与值域

IB 数学 AA HL· 10 分钟阅读

1. 代数法求定义域★★☆☆☆⏱ 3 min

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📘 定义

定义域限制

使函数无定义的x值会被排除在定义域之外。常见的限制包括：除以零、偶次根号下为负数、对数的真数非正。

求定义域时，先假设全体实数都是定义域，再排除所有违反上述限制的x。一定要检查函数的所有部分，找出所有限制条件。

📐 例题

Find the domain of $f (x) = \frac{1}{4 - x ^{2}}$

1
首先识别限制条件：根号下的表达式必须为正（因为它在分母中，所以不能等于零）：
2
$4 - x^2 > 0$
3
整理不等式：
4
$x^2 < 4 \implies -2 < x < 2$
5
没有其他限制条件，因此定义域为：
6
$(-2, 2)$

Exam tip:

使用区间表示法时，一定要检查受限值在数轴上是开区间还是闭区间端点。

2. 求函数的值域★★★☆☆⏱ 4 min

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求值域有两种常用方法：(1) 整理函数，用y表示x，然后求这个逆关系的定义域；(2) 利用函数的已知性质（例如二次函数的顶点）找到最值。

📐 例题

求 $x \in [1, 4]$ 时，函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ 的值域

1
先配方找到顶点：
2
$f(x) = (x - 2)^2 - 1$
3
该抛物线开口向上，因此最小值出现在顶点 $x = 2$ 处，对应 $y = - 1$ 。
4
接下来检查定义域区间的端点，找到最大值：
5
$f (1) = (1 - 2)^{2} - 1 = 0$ , $f (4) = (4 - 2)^{2} - 1 = 3$
6
最大值为3，因此值域为：
7
$[-1, 3]$

3. 复合函数的定义域与值域★★★★☆⏱ 3 min

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对于复合函数 $f (g (x))$ ，定义域是满足以下两个条件的所有 $x$ 的集合：(1) $x$ 在 $g$ 的定义域内，(2) $g (x)$ 在 $f$ 的定义域内。两个条件都必须检查。

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📐 例题

设 $f (x) = x$ ， $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ ，求 $f (g (x))$ 的定义域。

1
首先求 $g$ 的定义域： $x - 1 \neq = 0 ⟹ x \neq = 1$ 。
2
接下来， $g (x)$ 对 $f$ 必须非负： $\frac{1}{x - 1} \geq 0 ⟹ x - 1 > 0 ⟹ x > 1$ 。
3
求两个条件的交集： $x > 1$ 同时满足 $x \neq = 1$ 和非负要求。
4
Domain is $(1, \infty)$ .

4. 反函数的定义域与值域★★★☆☆⏱ 2 min

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反函数的一个核心关系是定义域和值域互换： $dom (f^{- 1}) = range (f)$ and $range (f^{- 1}) = dom (f)$ 。对于不需要求出完整反函数表达式的考题，这个关系可以节省时间。

📐 例题

若 $f (x) = e^{x + 3}$ 的定义域为 $(- \infty, \infty)$ ，求 $f^{- 1} (x)$ 的值域？

1
应用反函数性质： $f^{- 1}$ 的值域等于 $f$ 的定义域。
2
$f$ 的定义域是全体实数 $(- \infty, \infty)$ 。
3
So range of $f^{- 1} (x)$ is $(- \infty, \infty)$ .

5. 常见陷阱

错误做法:

允许分母中偶次根号下的表达式等于零

原因:

根号下为零会导致分母为零，函数无定义

正确做法:

分母中的偶次根号下的表达式需使用严格不等式 ( $> 0$ )，只有当根号不在分母中时才使用非严格不等式 ( $\geq 0$ )

错误做法:

求受限区间上二次函数的值域时，仅用顶点计算

原因:

顶点给出全局最值，但在受限定义域上，端点可能得到更大/更小的值

正确做法:

一定要计算二次函数在定义域区间端点处的值，才能得到完整值域

错误做法:

求复合 $f (g (x))$ 时，仅检查 $g (x)$ 在 $f$ 的定义域内，忘记了 $g$ 本身的限制条件

原因:

内层函数的限制条件在复合后不会消失

正确做法:

一定要将 $g$ 的定义域与外层函数 $f$ 要求的有效 $x$ 集合取交集

错误做法:

默认除非另有说明，函数的定义域都是全体实数

原因:

有理函数、根式函数和对数函数的定义本身就包含固有定义域限制

正确做法:

求任何函数的定义域时，都要检查分母、偶次根号和对数真数

6. 速查表

函数类型	常见定义域	常见值域
多项式	$(- \infty, \infty)$	奇次： $(- \infty, \infty)$ ；偶次：单侧有界
有理 $\frac{1}{x - a}$	$x \neq = a$	$y \neq = 0$
$a x + b$	$a x + b \geq 0$	$[0, \infty)$
$lo g_{k} (a x + b)$	$a x + b > 0$	$(- \infty, \infty)$
$e^{a x + b}$	$(- \infty, \infty)$	$(0, \infty)$
反函数 $f^{- 1} (x)$	原函数 $f$ 的值域	原函数 $f$ 的定义域

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
求复合函数的定义域
2023 · 2
确定受限二次函数的值域

下一步

定义域与值域是IB AA HL所有函数主题的基础。你会用到这项技能来寻找方程的有效解、绘制图像、计算复合函数和反函数，以及求解优化问题。在较长的多小题考题中，要拿到满分几乎 always 要求定义域和值域正确，因此掌握常见限制和方法至关重要。接下来，你将在此基础上深入学习复合函数和反函数，然后学习绘制和变换常见函数类型的图像。