# 定义域与值域

> IB 数学 AA HL · 第2单元：函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-domain-and-range/

本模块将教你求解代数函数、复合函数和反函数的定义域与值域，这是IB AA HL考试中几乎所有函数题都会考察的基础技能。

**先修:** [基础函数概念与符号](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-introduction-to-functions/)

## 学习目标

- 从代数形式、图像和实际情境中识别函数的定义域限制
- 计算常见函数和定义域受限函数的值域
- 求复合函数和反函数的定义域与值域
- 避开定义域与值域相关的常见考题陷阱

## 代数法求定义域

**定义域限制** — 使函数无定义的x值会被排除在定义域之外。常见的限制包括：除以零、偶次根号下为负数、对数的真数非正。

求定义域时，先假设全体实数都是定义域，再排除所有违反上述限制的x。一定要检查函数的所有部分，找出所有限制条件。

**例题:** Find the domain of $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$

1. 首先识别限制条件：根号下的表达式必须为正（因为它在分母中，所以不能等于零）：
2. $$4 - x^2 > 0$$
3. 整理不等式：
4. $$x^2 < 4 \implies -2 < x < 2$$
5. 没有其他限制条件，因此定义域为：
6. $$(-2, 2)$$

> **考试提示:** 使用区间表示法时，一定要检查受限值在数轴上是开区间还是闭区间端点。

*计算器:* forbidden

## 求函数的值域

求值域有两种常用方法：(1) 整理函数，用y表示x，然后求这个逆关系的定义域；(2) 利用函数的已知性质（例如二次函数的顶点）找到最值。

**例题:** 求$x \in [1, 4]$时，函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$的值域

1. 先配方找到顶点：
2. $$f(x) = (x - 2)^2 - 1$$
3. 该抛物线开口向上，因此最小值出现在顶点$x=2$处，对应$y=-1$。
4. 接下来检查定义域区间的端点，找到最大值：
5. $f(1) = (1-2)^2 -1 = 0$, $f(4) = (4-2)^2 -1 = 3$
6. 最大值为3，因此值域为：
7. $$[-1, 3]$$

*计算器:* forbidden

## 复合函数的定义域与值域

对于复合函数$f(g(x))$，定义域是满足以下两个条件的所有$x$的集合：(1) $x$在$g$的定义域内，(2) $g(x)$在$f$的定义域内。两个条件都必须检查。

$f(g(x))$的定义域是$g$的定义域，与满足$g(x)$对$f$有效的$x$集合的交集。

> tip

**例题:** 设$f(x) = \sqrt{x}$，$g(x) = \frac{1}{x - 1}$，求$f(g(x))$的定义域。

1. 首先求$g$的定义域：$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$。
2. 接下来，$g(x)$对$f$必须非负：$\frac{1}{x - 1} \geq 0 \implies x - 1 > 0 \implies x > 1$。
3. 求两个条件的交集：$x > 1$同时满足$x \neq 1$和非负要求。
4. Domain is $(1, \infty)$.

*计算器:* forbidden

## 反函数的定义域与值域

反函数的一个核心关系是定义域和值域互换：$\text{dom}(f^{-1}) = \text{range}(f)$ and $\text{range}(f^{-1}) = \text{dom}(f)$。对于不需要求出完整反函数表达式的考题，这个关系可以节省时间。

**例题:** 若$f(x) = e^{x + 3}$的定义域为$(-\infty, \infty)$，求$f^{-1}(x)$的值域？

1. 应用反函数性质：$f^{-1}$的值域等于$f$的定义域。
2. $f$的定义域是全体实数 $(-\infty, \infty)$。
3. So range of $f^{-1}(x)$ is $(-\infty, \infty)$.

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 允许分母中偶次根号下的表达式等于零
  - 原因: 根号下为零会导致分母为零，函数无定义
  - 正确做法: 分母中的偶次根号下的表达式需使用严格不等式 ($>0$)，只有当根号不在分母中时才使用非严格不等式 ($\geq 0$)
- **错误做法:** 求受限区间上二次函数的值域时，仅用顶点计算
  - 原因: 顶点给出全局最值，但在受限定义域上，端点可能得到更大/更小的值
  - 正确做法: 一定要计算二次函数在定义域区间端点处的值，才能得到完整值域
- **错误做法:** 求复合$f(g(x))$时，仅检查$g(x)$在$f$的定义域内，忘记了$g$本身的限制条件
  - 原因: 内层函数的限制条件在复合后不会消失
  - 正确做法: 一定要将$g$的定义域与外层函数$f$要求的有效$x$集合取交集
- **错误做法:** 默认除非另有说明，函数的定义域都是全体实数
  - 原因: 有理函数、根式函数和对数函数的定义本身就包含固有定义域限制
  - 正确做法: 求任何函数的定义域时，都要检查分母、偶次根号和对数真数

## 速查表

| 函数类型 | 常见定义域 | 常见值域 |
| --- | --- | --- |
| 多项式 | $(-\infty, \infty)$ | 奇次：$(-\infty, \infty)$；偶次：单侧有界 |
| 有理 $\frac{1}{x-a}$ | $x \neq a$ | $y \neq 0$ |
| $\sqrt{ax + b}$ | $ax + b \geq 0$ | $[0, \infty)$ |
| $\log_k(ax + b)$ | $ax + b > 0$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $e^{ax + b}$ | $(-\infty, \infty)$ | $(0, \infty)$ |
| 反函数 $f^{-1}(x)$ | 原函数$f$的值域 | 原函数$f$的定义域 |

## 下一步

定义域与值域是IB AA HL所有函数主题的基础。你会用到这项技能来寻找方程的有效解、绘制图像、计算复合函数和反函数，以及求解优化问题。在较长的多小题考题中，要拿到满分几乎 always 要求定义域和值域正确，因此掌握常见限制和方法至关重要。接下来，你将在此基础上深入学习复合函数和反函数，然后学习绘制和变换常见函数类型的图像。

- [复合函数与反函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-composite-and-inverse-functions/)
- [函数变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-transformations-of-functions/)
- [一次函数与二次函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-linear-and-quadratic-functions/)

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