复合函数与反函数

IB 数学：分析与方法 HL· 2.5 复合函数与反函数· 5 分钟阅读

1. 复合函数★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

复合函数

(f \circ g)(x) = f(g(x))

将内层函数 $g (x)$ 的输出作为外层函数 $f (x)$ 输入所得到的函数。

例:

若 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 1$ ，则 $(f \circ g) (x) = (x + 1)^{2}$

📐 例题

已知 $f (x) = 2 x + 3$ 且 $g (x) = e^{x - 1}$ ，求 $(f \circ g) (x)$ 和 $(g \circ f) (x)$

1
对于 $(f \circ g) (x)$ ，将 $g (x)$ 作为输入代入 $f (x)$ ：
2
$f(g(x)) = 2\left(g(x)\right) + 3 = 2e^{x-1} + 3$
3
对于 $(g \circ f) (x)$ ，将 $f (x)$ 作为输入代入 $g (x)$ ：
4
$g(f(x)) = e^{f(x) - 1} = e^{(2x + 3) - 1} = e^{2x + 2}$

2. 复合函数的定义域与值域★★★☆☆⏱ 20 min

求复合函数 $f (g (x))$ 的定义域时，必须考虑两层限制：首先 $x$ 必须满足内层函数 $g$ 的定义域要求，其次 $g$ 的输出必须满足外层函数 $f$ 的定义域要求。

求内层函数 $g (x)$ 的完整定义域
添加额外限制，确保 $g (x)$ 的所有输出都在 $f (x)$ 的定义域内
$f (g (x))$ 的定义域是这两组 $x$ 取值的交集

📐 例题

求 $(f \circ g) (x)$ 的定义域，其中 $f (x) = \frac{1}{x}$ 且 $g (x) = x + 2$

1
首先求内层函数 $g (x) = x + 2$ 的定义域：
2
$x + 2 \geq 0 \implies x \geq -2, \quad D(g) = [-2, \infty)$
3
接下来考虑 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的限制： $f (x)$ 在 $x = 0$ 处无定义，因此要求 $g (x) \neq = 0$ ：
4
$\sqrt{x+2} \neq 0 \implies x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
5
结合两个限制得到最终定义域：
6
$D(f \circ g) = (-2, \infty)$

3. 代数法求反函数★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

反函数

f^{-1}(x)

反转原一一对应函数映射关系的函数，满足对所有有效 $x$ ，有 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 且 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 。仅当原函数是一一对应函数时反函数存在。

从 $y = f (x)$ 出发
交换变量 $x$ 和 $y$
整理方程，用 $x$ 表示 $y$ 求解
得到的 $y$ 就是 $f^{- 1} (x)$ ，写出其定义域（等于原函数 $f$ 的值域）

📐 例题

求 $f (x) = 3 x + 4$ ， $x \in R$ 的反函数

1
写出原函数：
2
$y = 3x + 4$
3
交换 $x$ 和 $y$ ：
4
$x = 3y + 4$
5
整理求解 $y$ ：
6
$x - 4 = 3y \implies y = \frac{x - 4}{3}$
7
写成反函数形式：
8
$f^{-1}(x) = \frac{x - 4}{3}, \quad x \in \mathbb{R}$

✓ 快速检测

测试你对反函数记号的理解：

以下哪个是 $f (x) = \frac{1}{x + 3}$ ， $x \neq = - 3$ 的反函数？
- $\frac{1}{x} - 3$
- $\frac{1}{x} + 3$
- $x - 3$
- $\frac{1}{1 - 3 x}$

4. 反函数的图像性质★★☆☆☆⏱ 15 min

由于我们在求反函数时交换了 $x$ 和 $y$ ，原函数 $f$ 上的每个点 $(a, b)$ 都会变成反函数 $f^{- 1}$ 上的点 $(b, a)$ 。这对应于将 $f$ 的整个图像沿直线 $y = x$ 做反射。

📐 例题

利用反射法则画出 $f (x) = e^{x}$ 及其反函数的图像

1
原函数 $f (x) = e^{x}$ 的y轴截距为 $(0, 1)$ ，水平渐近线为 $y = 0$ ，在所有 $x \in R$ 上单调递增
2
将所有点沿直线 $y = x$ 反射，因此截距 $(0, 1)$ 变为 $(1, 0)$ ，水平渐近线 $y = 0$ 变为垂直渐近线 $x = 0$
3
反射得到的图像就是自然对数函数，符合我们已知的反函数关系：
4
$f^{-1}(x) = \ln x, \quad x > 0$

5. 常见陷阱

错误做法:

计算 $f \circ g$ 时算成 $g (f (x))$ 而非 $f (g (x))$

原因:

记号需要从右往左读：最靠近 $x$ 的内层函数先计算

正确做法:

记住 $f \circ g (x) = f (g (x))$ ，因此先算 $g$ ，再算 $f$

错误做法:

混淆 $f^{- 1} (x)$ 与 $\frac{1}{f ( x )}$

原因:

反函数的负指数记号是特殊约定，不代表倒数

正确做法:

永远记住 $f^{- 1} (x)$ 表示反函数，不是倒数： $(f (x))^{- 1} = \frac{1}{f ( x )} \neq = f^{- 1} (x)$

错误做法:

给未限制定义域的非一一对应函数求反函数

原因:

非一一对应函数的反射图像不满足竖直线测试，因此不是合法函数

正确做法:

首先检查 $f$ 是否为一一对应函数，如有必要则限制定义域使其满足一一对应

错误做法:

求复合函数定义域时仅考虑外层函数的定义域

原因:

输入 $x$ 必须首先满足内层函数的要求，因此内层函数的所有限制都需要保留

正确做法:

先求内层函数的定义域，再添加外层函数带来的限制

错误做法:

画反函数图像时沿x轴反射而非沿 $y = x$ 反射

原因:

记错规则，沿x轴反射得到的是 $- f (x)$ ，不是反函数

正确做法:

永远沿直线 $y = x$ 反射得到 $f^{- 1} (x)$ 的图像

6. 速查表

概念	核心规则	记号
复合 $f \circ g$	先算 $g$ ，再算 $f$	$(f \circ g) (x) = f (g (x))$
$f (g (x))$ 的定义域	$g$ 的定义域 + $g$ 的输出在 $f$ 的定义域内	$D (f \circ g) = D (g) \cap {x : g (x) \in D (f)}$
反函数存在性	仅一一对应函数存在反函数	$f^{- 1} (x)$
代数法求反函数	$y = f (x)$ 2. 交换 $x, y$ 3. 求解 $y$	反函数定义域 = 原函数值域
$f^{- 1}$ 的图像	$f$ 沿 $y = x$ 反射得到	$(a, b) \to (b, a)$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 1
6分复合函数定义域考题
2022 · 2
5分反函数图像绘制考题
2021 · 1
4分反函数验证考题

深入阅读

IB SyllabusIB AA HL 大纲主题2官方大纲参考

下一步

复合函数和反函数是IB AA HL几乎所有高阶主题的基础。复合是微分链式法则的核心，而链式法则是考试中考察最多的微积分概念。反函数对于理解对数（指数函数的反函数）和积分都非常关键，积分中你经常需要反转函数来求原函数。在这里掌握好定义域规则能避免你在课程后期高分题中犯低级错误。