# 复合函数与反函数

> IB 数学：分析与方法 HL · 第2单元：函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-composite-and-inverse-functions/

本子主题讲解如何通过复合组合函数、求反函数，以及理解原函数与反函数之间的代数和图像关系。这些概念是微积分和高级函数学习的基础。

**先修:** [定义域、值域和基本函数记号](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-basic-functions-and-notation/); [一一对应函数和多对一函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-types-of-functions/)

## 学习目标

- 计算复合函数并确定其定义域/值域
- 用代数法求一一对应函数的反函数
- 验证两个函数是否互为反函数
- 描述原函数与其反函数的图像关系
- 识别考题中常见的记号和定义域陷阱

## 复合函数

**复合函数** — 将内层函数$g(x)$的输出作为外层函数$f(x)$输入所得到的函数。

*记法:* (f \circ g)(x) = f(g(x))

*例:* 若$f(x) = x^2$且$g(x) = x+1$，则$(f \circ g)(x) = (x+1)^2$

**例题:** 已知$f(x) = 2x + 3$且$g(x) = e^{x-1}$，求$(f \circ g)(x)$和$(g \circ f)(x)$

1. 对于$(f \circ g)(x)$，将$g(x)$作为输入代入$f(x)$：
2. $$f(g(x)) = 2\left(g(x)\right) + 3 = 2e^{x-1} + 3$$
3. 对于$(g \circ f)(x)$，将$f(x)$作为输入代入$g(x)$：
4. $$g(f(x)) = e^{f(x) - 1} = e^{(2x + 3) - 1} = e^{2x + 2}$$

> **tip**
>
> $f \circ g$几乎永远不等于$g \circ f$。作答考题前请务必检查复合的顺序。

## 复合函数的定义域与值域

求复合函数$f(g(x))$的定义域时，必须考虑两层限制：首先$x$必须满足内层函数$g$的定义域要求，其次$g$的输出必须满足外层函数$f$的定义域要求。

1. 求内层函数$g(x)$的完整定义域
2. 添加额外限制，确保$g(x)$的所有输出都在$f(x)$的定义域内
3. $f(g(x))$的定义域是这两组$x$取值的交集

**例题:** 求$(f \circ g)(x)$的定义域，其中$f(x) = \frac{1}{x}$且$g(x) = \sqrt{x+2}$

1. 首先求内层函数$g(x) = \sqrt{x+2}$的定义域：
2. $$x + 2 \geq 0 \implies x \geq -2, \quad D(g) = [-2, \infty)$$
3. 接下来考虑$f(x) = \frac{1}{x}$的限制：$f(x)$在$x=0$处无定义，因此要求$g(x) \neq 0$：
4. $$\sqrt{x+2} \neq 0 \implies x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$$
5. 结合两个限制得到最终定义域：
6. $$D(f \circ g) = (-2, \infty)$$

## 代数法求反函数

**反函数** — 反转原一一对应函数映射关系的函数，满足对所有有效$x$，有$f^{-1}(f(x)) = x$且$f(f^{-1}(x)) = x$。仅当原函数是一一对应函数时反函数存在。

*记法:* f^{-1}(x)

1. 从$y = f(x)$出发
2. 交换变量$x$和$y$
3. 整理方程，用$x$表示$y$求解
4. 得到的$y$就是$f^{-1}(x)$，写出其定义域（等于原函数$f$的值域）

**例题:** 求$f(x) = 3x + 4$，$x \in \mathbb{R}$的反函数

1. 写出原函数：
2. $$y = 3x + 4$$
3. 交换$x$和$y$：
4. $$x = 3y + 4$$
5. 整理求解$y$：
6. $$x - 4 = 3y \implies y = \frac{x - 4}{3}$$
7. 写成反函数形式：
8. $$f^{-1}(x) = \frac{x - 4}{3}, \quad x \in \mathbb{R}$$

**概念自测**

测试你对反函数记号的理解：

1. 以下哪个是$f(x) = \frac{1}{x+3}$，$x \neq -3$的反函数？

   - $\frac{1}{x} - 3$
   - $\frac{1}{x} + 3$
   - $x - 3$
   - $\frac{1}{1-3x}$

   *答案:* $\frac{1}{x} - 3$

   *解析:* 按照步骤计算：$y = 1/(x+3) \to x = 1/(y+3) \to y+3 = 1/x \to y = 1/x - 3$

## 反函数的图像性质

由于我们在求反函数时交换了$x$和$y$，原函数$f$上的每个点$(a,b)$都会变成反函数$f^{-1}$上的点$(b,a)$。这对应于将$f$的整个图像沿直线$y=x$做反射。

> **mnemonic**
>
> 交换x和y，沿y = x反射

**例题:** 利用反射法则画出$f(x) = e^x$及其反函数的图像

1. 原函数$f(x) = e^x$的y轴截距为$(0,1)$，水平渐近线为$y=0$，在所有$x \in \mathbb{R}$上单调递增
2. 将所有点沿直线$y=x$反射，因此截距$(0,1)$变为$(1,0)$，水平渐近线$y=0$变为垂直渐近线$x=0$
3. 反射得到的图像就是自然对数函数，符合我们已知的反函数关系：
4. $$f^{-1}(x) = \ln x, \quad x > 0$$

## 常见错误

- **错误做法:** 计算$f \circ g$时算成$g(f(x))$而非$f(g(x))$
  - 原因: 记号需要从右往左读：最靠近$x$的内层函数先计算
  - 正确做法: 记住$f \circ g(x) = f(g(x))$，因此先算$g$，再算$f$
- **错误做法:** 混淆$f^{-1}(x)$与$\frac{1}{f(x)}$
  - 原因: 反函数的负指数记号是特殊约定，不代表倒数
  - 正确做法: 永远记住$f^{-1}(x)$表示反函数，不是倒数：$(f(x))^{-1} = \frac{1}{f(x)} \neq f^{-1}(x)$
- **错误做法:** 给未限制定义域的非一一对应函数求反函数
  - 原因: 非一一对应函数的反射图像不满足竖直线测试，因此不是合法函数
  - 正确做法: 首先检查$f$是否为一一对应函数，如有必要则限制定义域使其满足一一对应
- **错误做法:** 求复合函数定义域时仅考虑外层函数的定义域
  - 原因: 输入$x$必须首先满足内层函数的要求，因此内层函数的所有限制都需要保留
  - 正确做法: 先求内层函数的定义域，再添加外层函数带来的限制
- **错误做法:** 画反函数图像时沿x轴反射而非沿$y=x$反射
  - 原因: 记错规则，沿x轴反射得到的是$-f(x)$，不是反函数
  - 正确做法: 永远沿直线$y=x$反射得到$f^{-1}(x)$的图像

## 速查表

| 概念 | 核心规则 | 记号 |
| --- | --- | --- |
| 复合 $f \circ g$ | 先算$g$，再算$f$ | $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ |
| $f(g(x))$的定义域 | $g$的定义域 + $g$的输出在$f$的定义域内 | $D(f \circ g) = D(g) \cap \{x: g(x) \in D(f)\}$ |
| 反函数存在性 | 仅一一对应函数存在反函数 | $f^{-1}(x)$ |
| 代数法求反函数 | 1. $y=f(x)$ 2. 交换$x,y$ 3. 求解$y$ | 反函数定义域 = 原函数值域 |
| $f^{-1}$的图像 | $f$沿$y=x$反射得到 | $(a,b) \to (b,a)$ |

## 下一步

复合函数和反函数是IB AA HL几乎所有高阶主题的基础。复合是微分链式法则的核心，而链式法则是考试中考察最多的微积分概念。反函数对于理解对数（指数函数的反函数）和积分都非常关键，积分中你经常需要反转函数来求原函数。在这里掌握好定义域规则能避免你在课程后期高分题中犯低级错误。

- [函数的定义域与值域](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-domain-and-range/)
- [函数变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-transformations-of-functions/)
- [一次函数与二次函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-linear-and-quadratic-functions/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-composite-and-inverse-functions/