基础三角函数

IB 数学分析与方法 HL· Unit 2: Functions, Topic 2.8· 15 分钟阅读

1. 正弦函数与余弦函数★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

周期函数

若存在常数 $T > 0$ ，使得对定义域内所有 $x$ 都满足 $f (x + T) = f (x)$ ，则称函数 $f (x)$ 是周期函数。满足该条件的最小 $T$ 称为函数的最小正周期。

例:

$f (x) = sin x$ 有最小正周期 $2 π$

正弦和余弦可通过单位圆对所有实数 $x$ 定义：在单位圆上，从正 $x$ 轴转过角度 $θ$ 的点，其 $y$ 坐标为 $sin θ$ ， $x$ 坐标为 $cos θ$ 。

定义域：两个函数均为全体实数 $x \in R$
值域：两个函数均为 $[- 1, 1]$
最小正周期：两个函数均为 $2 π$
振幅：两个函数均为 $1$

📐 例题

写出 $f (x) = 3 sin (2 x)$ 的定义域、值域和周期

1
垂直缩放不改变正弦函数的定义域，因为正弦对所有实数自变量都有定义。定义域与母函数相同：
2
$\text{Domain: } x \in \mathbb{R}$
3
原正弦函数的值域为 $[- 1, 1]$ 。所有输出乘以3后得到新值域：
4
$\text{Range: } [3 \times (-1), 3 \times 1] = [-3, 3]$
5
水平缩放因子为 $\frac{1}{2}$ ，将母函数的周期减半。原周期为 $2 π$ ，因此：
6
$\text{Period} = \frac{2\pi}{2} = \pi$

2. 正切函数★★☆☆☆⏱ 5 min

与正弦和余弦不同，正切被定义为比值 $tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ ，因此当 $cos θ = 0$ 时它无定义。这些无定义点会产生垂直渐近线。

📘 定义

$\tan x$ 的关键特征

由于正切是两个周期函数的比值，因此它的周期和值域与正弦、余弦有本质区别。

定义域：全体实数，除 $x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$
Range: All real numbers $R$
Fundamental period: $π$ (not $2 π$ !)
No defined amplitude (range is unbounded)

📐 例题

求 $f (x) = tan (3 x)$ 所有垂直渐近线的位置

1
母函数 $tan θ$ 在分母 $cos θ = 0$ 时存在渐近线，该条件发生在：
2
$\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
3
令变换后正切的自变量等于该条件，然后解出 $x$ ：
4
$3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$
5
这些就是 $f (x)$ 所有垂直渐近线的位置。

3. 倒数三角函数★★★☆☆⏱ 4 min

正弦、余弦、正切的倒数给出了另外三个核心三角函数：余割、正割和余切。每个倒数函数继承原函数的周期性，但在原函数等于零的位置存在垂直渐近线。

名称	记号	定义	周期	定义域	值域
余割	$csc x$	$\frac{1}{s i n x}$	$2 π$	$x \neq = k π, k \in Z$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$
正割	$sec x$	$\frac{1}{c o s x}$	$2 π$	$x \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$
余切	$cot x$	$\frac{c o s x}{s i n x} = \frac{1}{t a n x}$	$π$	$x \neq = k π, k \in Z$	$R$

📐 例题

求 $f (x) = 2 sec x$ 的值域

1
从母函数 $sec x$ 的值域开始，我们从上表可知：
2
$\text{Range of } \sec x = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$
3
垂直缩放因子2将所有输出值乘以2，因此我们对值域的每个区间进行缩放：
4
$2(-\infty, -1] = (-\infty, -2], \quad 2[1, \infty) = [2, \infty)$
5
因此合并后的值域为：
6
$\text{Range of } f(x) = (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$

4. 基础三角函数的图像★★☆☆☆⏱ 5 min

所有基础三角函数都有其特征形状，你需要在IB考试题目中快速识别和绘制它们。你必须能够正确标记关键截距、最值点和渐近线。

Sine crosses $(0, 0)$ , has maximum at $(\frac{π}{2}, 1)$ , zero at $(π, 0)$ , minimum at $(\frac{3 π}{2}, - 1)$ , zero at $(2 π, 0)$
Cosine crosses $(0, 1)$ , zero at $(\frac{π}{2}, 0)$ , minimum at $(π, - 1)$ , zero at $(\frac{3 π}{2}, 0)$ , maximum at $(2 π, 1)$
Tangent crosses $(0, 0)$ , has asymptotes at $\pm \frac{π}{2}$ , and increases continuously from $- \infty$ to $+ \infty$ between any two consecutive asymptotes

5. 常见陷阱

错误做法:

Claiming the period of $tan (k x)$ is $\frac{2 π}{k}$

原因:

Tangent has a fundamental period of $π$ , not $2 π$ like sine and cosine

正确做法:

The period of $tan (k x)$ is always $\frac{π}{∣ k ∣}$

错误做法:

Stating the range of $csc x$ or $sec x$ is $[- 1, 1]$

原因:

Reciprocal flips the inequality: values between 0 and 1 become greater than 1, values between -1 and 0 become less than -1

正确做法:

Range of $csc x$ and $sec x$ is $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

错误做法:

Including asymptote locations in the domain of trigonometric functions

原因:

The function is undefined at these points, so they cannot be part of the domain

正确做法:

Exclude all $x$ that make the denominator of the function equal to zero from the domain

错误做法:

Assigning an amplitude to tangent, cotangent, secant or cosecant

原因:

Amplitude is only defined for bounded periodic functions with a maximum and minimum value

正确做法:

Only sine and cosine (and their transformations) have a defined amplitude

6. 速查表

函数	定义域	值域	周期	振幅
$sin x$	$R$	$[- 1, 1]$	$2 π$	$1$
$cos x$	$R$	$[- 1, 1]$	$2 π$	$1$
$tan x$	$x \neq = \frac{π}{2} + k π$	$R$	$π$	无
$csc x$	$x \neq = k π$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$	$2 π$	无
$sec x$	$x \neq = \frac{π}{2} + k π$	$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$	$2 π$	无
$cot x$	$x \neq = k π$	$R$	$π$	无

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求变换后正割函数的值域
2022 · 1
确定正切函数的渐近线位置
2023 · 2
绘制基础正弦函数的图像

下一步

Basic trigonometric functions are the foundation for all further work in trigonometry in IB AA HL. Next, you will learn how to transform these functions with translations, reflections and scalings, which allows you to model periodic real-world phenomena such as tidal motion or oscillating springs. You will also use these basic functions to solve more complex trigonometric equations and prove trigonometric identities, which are frequent long questions in both Paper 1 and Paper 2 of the IB exam.