# 线性方程组

> IB 数学：分析与方法 HL · 数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-systems-of-linear-equations/

本模块讲解2变量和3变量线性方程组、矩阵表示、解类型分类，以及IB AA HL考试中高频考察的核心求解方法。

**先修:** [矩阵运算与逆矩阵](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-matrix-basics/); [方阵行列式的计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-determinants/)

## 学习目标

- 用矩阵和增广矩阵形式表示线性方程组
- 使用秩和行列式检验对解的类型（唯一解、无穷多解、无解）分类
- 使用逆矩阵、克莱姆法则和高斯消元法求解2×2和3×3线性方程组
- 解释不同解类型的几何意义
- 求解含未知参数的方程组相容性问题

## 矩阵表示与几何意义

**增广矩阵** — 对于方程组$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，增广矩阵将系数矩阵$A$和常数向量$\mathbf{b}$合并，用于行变换运算。

*记法:* $\text{aug}(A|\mathbf{b})$

*例:* 对于方程组$2x + y = 5, x - 3y = -1$，增广矩阵为$\text{aug}(A|\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

$n$元线性方程对应$n$维空间中的一个超平面。对于2元和3元的情况，分别对应二维空间中的直线和三维空间中的平面，方程组的解集就是这些图形的交集。

- 唯一解：所有图形恰好交于一点
- 无穷多解：图形交于一条直线或完全重合
- 无解：所有方程没有公共交点

**例题:** 描述二元不相容线性方程组的几何意义。

1. 二元线性方程组中的每个方程都对应二维空间中的一条直线。
2. 不相容方程组没有解，因此不存在同时在两条直线上的点。
3. 这种情况仅当两条直线平行且不重合时发生，即斜率相同但截距不同。

> **考试提示:** 被要求时，务必将代数解类型与几何意义关联起来——这通常是一个单独的得分点。

## 求解方法：逆矩阵与克莱姆法则

对于方阵方程组（$n$个方程，$n$个变量）$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，若$A$可逆（$\det(A) \neq 0$），则方程组有唯一解，可以直接用逆矩阵或克莱姆法则求解。

**克莱姆法则** — 对于3×3方程组$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，将$A$的第$i$列替换为$\mathbf{b}$得到$A_i$。当$\det(A) \neq 0$时，解为$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$。

**例题:** 用克莱姆法则求解方程组$2x + y = 7$，$x - 2y = 6$。

1. 写出系数矩阵$A$和常数向量$\mathbf{b}$：
2. $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix}$$
3. 计算$\det(A)$：
4. $$\det(A) = (2)(-2) - (1)(1) = -5 \neq 0$$
5. 构造$A_1$（将第1列替换为$\mathbf{b}$）和$A_2$（将第2列替换为$\mathbf{b}$）：
6. $$A_1 = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$$
7. 计算行列式：
8. $$\det(A_1) = -20, \quad \det(A_2) = 5$$
9. 求解得：
10. $$x = \frac{-20}{-5} = 4, \quad y = \frac{5}{-5} = -1$$

*计算器:* allowed

## 行化简（高斯消元法）

高斯消元法是适用于任意方程组的最灵活方法，包括非方阵方程组、无解和无穷多解的方程组。它使用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，再通过回代求解。

> **info**
>
> 初等行变换不会改变方程组的解集。允许的变换：1) 交换两行，2) 将一行乘以非零常数，3) 将一行的倍数加到另一行上。

**例题:** 用高斯消元法求方程组$x + 2y - z = 3$，$2x - y + 2z = 1$，$3x + y + z = 4$的所有解。

1. 写出增广矩阵：
2. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$
3. 消去第2行和第3行的$x$：$R_2 = R_2 - 2R_1$，$R_3 = R_3 - 3R_1$：
4. $$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -5 & 4 & -5 \\ 0 & -5 & 4 & -5 \end{pmatrix}$$
5. 消去第3行的$y$：$R_3 = R_3 - R_2$：
6. $$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -5 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
7. 最后一行全为零，因此存在一个自由变量。令$z = t$，$t \in \mathbb{R}$。
8. 回代求解$y$：$-5y + 4t = -5 \implies y = 1 - \frac{4}{5}t$
9. 回代求解$x$：$x + 2\left(1 - \frac{4}{5}t\right) - t = 3 \implies x = 1 + \frac{13}{5}t$
10. 通解（无穷多解）为：
11. $$x = 1 + \frac{13}{5}t, \quad y = 1 - \frac{4}{5}t, \quad z = t, \quad t \in \mathbb{R}$$

> **考试提示:** 对于无穷多解，务必清晰说明自由参数并写出完整通解，才能获得满分。

## 利用鲁歇-卡佩利定理对解类型分类

**鲁歇-卡佩利定理** — 方程组$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$有解的充要条件是$\text{rank}(A) = \text{rank}(\text{aug}(A|\mathbf{b}))$。若秩相等：(1) 秩 = 变量个数 → 唯一解，(2) 秩 < 变量个数 → 无穷多解。若秩不相等 → 无解。

**例题:** 求使得方程组$x + 2y - 3z = 4$，$2x + 3y + 2z = 2$，$3x + 5y - kz = 8$无解的$k$值。

1. 写出增广矩阵：
2. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 3 & 5 & -k & 8 \end{pmatrix}$$
3. 行化简：$R_2 = R_2 - 2R_1$，$R_3 = R_3 - 3R_1$，然后$R_3 = R_3 - R_2$：
4. $$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 8 & -6 \\ 0 & 0 & 1 - k & 2 \end{pmatrix}$$
5. 无解的条件是$\text{rank}(A) < \text{rank}(\text{aug})$，这发生在$z$的系数为零，但常数项非零的时候。
6. 令$1 - k = 0 \implies k = 1$。当$k=1$时，最后一行变为$[0 \ 0 \ 0 \ | \ 2]$，矛盾，因此无解。

## 常见错误

- **错误做法:** 当$\det(A) = 0$时仍使用克莱姆法则
  - 原因: 克莱姆法则仅适用于有唯一解的方程组，无法求出无穷多解或确认不相容性
  - 正确做法: 先检查$\det(A)$，当$\det(A) = 0$时用行化简对解分类
- **错误做法:** 假设所有$\det(A) = 0$的方程组都不相容
  - 原因: $\det(A) = 0$仅说明没有唯一解，方程组仍可能有无穷多解
  - 正确做法: 行化简后检查增广矩阵的秩，确认是否不相容
- **错误做法:** 写无穷多解时不引入自由参数
  - 原因: 阅卷者要求完整通解，而不只是一个特解
  - 正确做法: 每个非主元列引入一个自由参数，将所有变量表示为参数的函数
- **错误做法:** 行化简时将一行乘以零
  - 原因: 这会擦除该行的所有信息，改变方程组的解集
  - 正确做法: 高斯消元时仅将行乘以非零常数
- **错误做法:** 用克莱姆法则求解后跳过解的验证
  - 原因: 计算行列式时微小的符号错误就会导致错解，且很容易被忽略
  - 正确做法: 务必将解代回原方程组验证

## 速查表

| 解类型 | 秩条件 | 三维几何意义 |
| --- | --- | --- |
| 唯一解 | $\text{rank}(A) = \text{rank}(\text{aug}) = 3$ | 三个平面交于一点 |
| 无穷多解（共线） | $\text{rank}(A) = \text{rank}(\text{aug}) = 2$ | 三个平面交于一条公共直线 |
| 无穷多解（共面） | $\text{rank}(A) = \text{rank}(\text{aug}) = 1$ | 三个平面全部重合 |
| 无解 | $\text{rank}(A) < \text{rank}(\text{aug})$ | 至少两个平面平行，或没有公共交点 |

## 下一步

线性方程组是IB AA HL中许多后续主题的基础，尤其是三维空间向量，你会在那里使用类似方法求直线与平面的交点。解类型分类也是处理矩阵特征值与特征向量问题、以及后续微积分单元中求解线性微分方程组的核心技能。掌握高斯消元法和基于秩的分类，不仅能帮助你解决本主题的考题，还能在整个大纲的多步骤问题中节省时间。

- [函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-overview/)
- [函数定义与符号](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-function-definitions-and-notation/)
- [定义域与值域](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-domain-and-range/)

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