数列与级数

Q: 无穷等比级数什么时候收敛？

当且仅当公比的绝对值小于1时，无穷等比级数收敛：。若，级数发散，不存在有限和。

Q: 数列和级数的区别是什么？

数列是单个项的有序列表，而级数是数列各项的和。

IB 数学：分析与方法 HL· 1.2 数列与级数· 15 分钟阅读

1. 等差数列与等差级数★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

等差数列（AP）

First term $u_{1}$ , common difference $d$

等差数列是这样的数列：首项之后的每一项都等于前一项加上一个恒定的公差。

例:

$2, 5, 8, 11, ...$ has $u_{1} = 2, d = 3$

等差数列的第n项符合由数列规律推导得到的线性公式：

u_n = u_1 + (n-1)d

等差数列前 $n$ 项和的推导是通过将首项和末项配对得到恒定和，最终得到两个等价公式：

S_n = \frac{n}{2} \left( 2u_1 + (n-1)d \right) = \frac{n}{2} (u_1 + u_n)

📐 例题

已知等差数列的第3项为10，第7项为34。求首项和前10项的和。

1
对两个已知项写出第n项公式：
2
$u_3 = u_1 + 2d = 10 \\ u_7 = u_1 + 6d = 34$
3
用第二个方程减去第一个方程消去 $u_{1}$ ：
4
$(u_1 + 6d) - (u_1 + 2d) = 34 - 10 \\ 4d = 24 \\ d = 6$
5
代入 $d = 6$ 回求 $u_{1}$ ：
6
$u_1 + 2(6) = 10 \\ u_1 = -2$
7
计算前10项的和：
8
$S_{10} = \frac{10}{2} \left( 2(-2) + 9(6) \right) = 5 (-4 + 54) = 250$

Exam tip:

务必确认题目要求的是第n项还是前n项和——混淆这两者是非常常见且可以避免的错误。

2. 等比数列与等比级数★★★☆☆⏱ 5 min

📘 定义

等比数列（GP）

First term $u_{1}$ , common ratio $r$

等比数列是这样的数列：首项之后的每一项都等于前一项乘以一个恒定的公比。

例:

$3, 6, 12, 24, ...$ has $u_{1} = 3, r = 2$

由于每次都乘以公比，等比数列的第n项符合指数公式：

u_n = u_1 r^{n-1}

等比数列前 $n$ 项和使用标准有限等比级数公式，该公式适用于所有 $r \neq = 1$ 的情况。当 $r = 1$ 时，所有项都等于 $u_{1}$ ，所以 $S_{n} = n u_{1}$ 。

S_n = u_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} = u_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}, \quad r \neq 1

📐 例题

已知等比数列的第2项为6，第5项为-162。求公比和前4项的和。

1
对每个已知项写出第n项公式：
2
$u_2 = u_1 r = 6 \\ u_5 = u_1 r^4 = -162$
3
第二个方程除以第一个方程消去 $u_{1}$ ：
4
$\frac{u_1 r^4}{u_1 r} = \frac{-162}{6} \\ r^3 = -27 \\ r = -3$
5
代回求 $u_{1}$ ：
6
$u_1 (-3) = 6 \\ u_1 = -2$
7
计算前4项的和：
8
$S_4 = (-2) \frac{1 - (-3)^4}{1 - (-3)} = (-2) \frac{1 - 81}{4} = 40$

3. 无穷等比级数与收敛★★★☆☆⏱ 5 min

对于无穷等比级数，只有当公比满足特定条件时，所有项的和才会趋近于一个有限值，这个性质称为收敛。若级数不收敛，则称为发散，不存在有限和。

📘 定义

收敛无穷等比级数

当且仅当公比 $r$ 满足 $∣ r ∣ < 1$ 时，无穷等比级数收敛到有限和。无穷和由下方公式给出。

例:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...$ converges to 2

S_\infty = \frac{u_1}{1 - r}, \quad |r| < 1

📐 例题

已知一个收敛无穷等比级数的首项为12，无穷和为18。求该级数的公比和第4项。

1
使用无穷和公式求解 $r$ ：
2
$S_\infty = \frac{u_1}{1 - r} \\ 18 = \frac{12}{1 - r}$
3
整理得 $r$ ：
4
$1 - r = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \\ r = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
5
确认满足收敛条件： $∣ r ∣ = \frac{1}{3} < 1$ ，结果有效。
6
计算第4项：
7
$u_4 = u_1 r^3 = 12 \left( \frac{1}{3} \right)^3 = 12 \times \frac{1}{27} = \frac{4}{9}$

4. 金融应用：复利与折旧★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

复利与折旧是等比数列的直接应用：每一期金额都乘以一个固定因子。本内容属于 AA SL 1.4，由于 HL 是 SL 的超集，你需要掌握它。由于利息一年可能计算不止一次，公式中包含计息频率 $k$ 。

📘 定义

复利

FV = PV\left(1 + \frac{r}{100k}\right)^{kn}

$P V$ 为现值（初始金额）， $F V$ 为终值， $r$ 为名义年利率（百分数）， $n$ 为年数， $k$ 为每年计息期数。

例:

按年 $k = 1$ ，按半年 $k = 2$ ，按季 $k = 4$ ，按月 $k = 12$ 。

金额在每个计息期构成公比为 $(1 + \frac{r}{100 k})$ 的等比数列。对固定名义利率，计息频率 $k$ 越大，终值略微越大，因为利息更早开始产生利息。在 GDC 上你也可以用内置的金融求解器（TVM），但你必须记住公式。

📐 例题

以 5000 元按名义年利率 4% 投资。若利息(i)按年、(ii)按季、(iii)按月计算，求 3 年后的价值。答案保留 2 位小数。

1
按年（ $k = 1$ ）：代入 $r = 4$ 、 $n = 3$ ：
2
$FV = 5000\left(1 + \frac{4}{100}\right)^{3} = 5000(1.04)^3 = 5624.32$
3
按季（ $k = 4$ ）：每期利率为 $\frac{4}{400} = 0.01$ ，共 $4 \times 3 = 12$ 期：
4
$FV = 5000\left(1 + \frac{4}{400}\right)^{12} = 5000(1.01)^{12} = 5634.13$
5
按月（ $k = 12$ ）：每期利率为 $\frac{4}{1200}$ ，共 $12 \times 3 = 36$ 期：
6
$FV = 5000\left(1 + \frac{4}{1200}\right)^{36} = 5636.36$
7
如预期，计息越频繁，终值略大。

📘 定义

年折旧

FV = PV\left(1 - \frac{r}{100}\right)^{n}

当资产每年损失固定百分比 $r$ 的价值时，其价值构成公比为 $(1 - \frac{r}{100})$ 的等比数列。这里 $n$ 是年数。

例:

价值 18000 元、每年折旧 15% 的汽车， $n$ 年后价值为 $18000 (0.85)^{n}$ 。

货币的购买力也会因通货膨胀而随时间下降。为公平比较金额，未来金额的实际价值要对通胀进行贴现。若通胀率为每年 $i %$ ，则 $n$ 年后收到的金额 $F V$ 折算成今天的货币的实际价值为 $\frac{F V}{( 1 + \frac{i}{100} ) ^{n}}$ 。

📐 例题

一个储蓄账户使 8000 元在 5 年内增长到 9724.05 元。同期通胀平均每年 3%。求最终金额折算成今天货币的实际价值，四舍五入到整数元。

1
用 5 年的通胀因子对最终金额贴现：
2
$\text{实际价值} = \frac{9724.05}{\left(1 + \frac{3}{100}\right)^{5}} = \frac{9724.05}{(1.03)^5}$
3
计算分母并相除：
4
$= \frac{9724.05}{1.159274} \approx 8388$
5
所以尽管余额增长到 9724.05 元，按今天的货币它约值 8388 元，相对最初的 8000 元仍是实际增值。

Exam tip:

仔细看计息频率：“按季”表示 $k = 4$ ，指数是 $k n$ 而不是 $n$ 。常见失误是把年利率用在季度期数上。

5. 常见陷阱

错误做法:

在AP/GP的第n项公式中使用 $n$ 而非 $n - 1$

原因:

首项对应 $n = 1$ ，因此指数/乘数必须为 $1 - 1 = 0$ 才能得到正确的 $u_{1}$ 。使用 $n$ 会让所有项偏移一个位置。

正确做法:

对于等差数列始终使用 $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ ，等比数列始终使用 $u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$ ，除非题目明确说明数列从索引0开始。

错误做法:

舍去等比数列中公比 $r$ 的负解

原因:

IB考试题目经常使用负公比，但许多学生错误地认为 $r$ 一定为正，舍去了负解。

正确做法:

除非题目明确说明数列所有项均为正，否则保留 $r$ 的负值。

错误做法:

当 $∣ r ∣ \geq 1$ 时使用无穷和公式

原因:

无穷和公式仅适用于收敛级数。若 $∣ r ∣ \geq 1$ ，项的绝对值会增长，级数发散。

正确做法:

使用 $S_{\infty} = \frac{u _{1}}{1 - r}$ 前务必确认 $∣ r ∣ < 1$ ，若 $∣ r ∣ \geq 1$ 则说明无穷和不存在。

错误做法:

计算两个位置之间的和时错误统计项数

原因:

例如，从第3项到第7项的和共有5项，而非 $7 - 3 = 4$ 项。

正确做法:

项数计算为 $(末项位置 - 首项位置) + 1$ ，或使用 $S_{末项} - S_{首项 - 1}$ 自动得到正确的和。

6. 速查表

概念	第n项	前n项和	核心规则/公式
等差数列	$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$	$S_{n} = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n})$	Constant common difference $d$
等比数列 ( $r \neq = 1$ )	$u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$	$S_{n} = u_{1} \frac{1 - r ^{n}}{1 - r}$	Constant common ratio $r$
等比数列 ( $r = 1$ )	$u_{n} = u_{1}$	$S_{n} = n u_{1}$	All terms equal to $u_{1}$
无穷等比级数	Same as finite GP	N/A	$S_{\infty} = \frac{u _{1}}{1 - r}, ∣ r ∣ < 1$ ; diverges if $∣ r ∣ \geq 1$

7. 常见问题

无穷等比级数什么时候收敛？

当且仅当公比的绝对值小于1时，无穷等比级数收敛： $∣ r ∣ < 1$ 。若 $∣ r ∣ \geq 1$ ，级数发散，不存在有限和。

数列和级数的区别是什么？

数列是单个项的有序列表，而级数是数列各项的和。

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数列与级数是IB AA HL几乎所有后续主题的基础，包括二项式定理、微积分中的麦克劳林级数和泰勒级数，以及离散概率模型。该主题经常出现在Paper 1和Paper 2考试中，常与对数、指数或金融数学结合出拓展回答题。掌握AP/GP公式和收敛条件会让你在后续学习大纲中更高级的级数主题时轻松很多。