复数的极坐标形式与指数形式

IB 数学：分析与方法 HL· 1.6 Complex numbers· 15 分钟阅读

1. 复数的极坐标形式★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

极坐标形式

z = r(\cos\theta + i \sin\theta)

非零复数的一种表示方法，使用其模 $r$ （到原点的距离）和辐角 $θ$ （到正实轴的夹角）

例:

$z = 1 + i$ has polar form $2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$

要将直角坐标形式 $z = x + i y$ 转换为极坐标形式，计算 $r = x^{2} + y^{2}$ 和 $tan θ = \frac{y}{x}$ 。你必须始终调整 $θ$ 使其匹配 $z$ 在阿尔冈图上所在的象限，因为反正切函数仅返回 $- \frac{π}{2}$ 到 $\frac{π}{2}$ 之间的值。

📐 例题

将 $z = - 1 + 3 i$ 转换为极坐标形式

1
首先计算 $z$ 的模
$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
2
求出辐角的参考角
$\tan\alpha = \left|\frac{y}{x}\right| = \sqrt{3} \implies \alpha = \frac{\pi}{3}$
3
$z$ 位于第二象限，因此调整辐角
$\theta = \pi - \alpha = \frac{2\pi}{3}$
4
代入极坐标形式公式
$z = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)$

Exam tip:

务必在草稿阿尔冈图上标出你的复数，确认辐角所在的象限。

2. 乘法、除法与棣莫弗定理★★☆☆☆⏱ 5 min

对于两个极坐标形式的复数 $z_{1} = r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1})$ 和 $z_{2} = r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2})$ ，乘除运算规则比直角坐标形式简单得多：

z_1 z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)\right) \\ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)\right)

📘 定义

棣莫弗定理

\left(r(\cos\theta + i\sin\theta)\right)^n

对于任意实数 $n$ ，极坐标形式下复数的n次幂等于 $r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$

例:

$(2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}))^{2} = 2 i$

📐 例题

已知 $z_{1} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ 和 $z_{2} = 3 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ ，求极坐标形式的 $z_{1} z_{2}$

1
将两个复数的模相乘
$r = r_1 r_2 = 2 \times 3 = 6$
2
将两个复数的辐角相加
$\theta = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$
3
合并得到极坐标形式的乘积
$z_1 z_2 = 6\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right)$

3. 复数的指数形式★★★☆☆⏱ 4 min

📘 定义

指数形式

z = r e^{i\theta}

由欧拉公式 $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ 推导得到的复数紧凑表示形式，其中 $r$ 是模， $θ$ 是辐角（单位为弧度）

例:

$z = 1 + i = 2 e^{i \frac{π}{4}}$

指数形式遵循所有标准指数运算法则，因此乘除和幂运算都非常直观：

r_1 e^{i\theta_1} \times r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \\ \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)} \\ \left(r e^{i\theta}\right)^n = r^n e^{i n\theta}

📐 例题

计算 $(2 e^{i \frac{π}{3}})^{3}$ ，将结果表示为直角坐标形式

1
应用指数形式的幂法则
$(2 e^{i \pi/3})^3 = 2^3 (e^{i \pi/3})^3 = 8 e^{i \pi}$
2
使用欧拉公式展开
$8 e^{i \pi} = 8 (\cos \pi + i \sin \pi)$
3
计算并化简为直角坐标形式
$8(-1 + 0i) = -8$

4. 复数的方根★★★★☆⏱ 6 min

任意非零复数都恰好有 $n$ 个不同的n次方根。这些根在阿尔冈图上均匀分布在半径为 $r^{1/ n}$ 的圆周上，相邻根之间的辐角差为 $\frac{2 π}{n}$ 。

📘 定义

n次方根公式

z_k = r^{1/n} e^{i \frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, ..., n-1

给出复数 $z = r e^{i θ}$ 的所有 $n$ 个不同n次方根，通过给原辐角加上整周旋转( $2 k π$ )得到所有唯一解。

📐 例题

求1的所有立方根，结果保留极坐标形式

1
将1写为极坐标形式，确定模和辐角
$1 = 1(\cos 0 + i \sin 0), \quad r = 1, \theta = 0, n = 3$
2
应用极坐标形式的n次方根公式
$z_k = 1^{1/3} \left(\cos\left(\frac{0 + 2k\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{0 + 2k\pi}{3}\right)\right)$
3
代入 $k = 0, 1, 2$ 得到所有根
$z_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1, \quad z_1 = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}, \quad z_2 = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}$

Exam tip:

始终记住n次方根有n个不同的根——如果你只写一个根，会丢失该题大部分分数。

5. 常见陷阱

错误做法:

从直角坐标形式转换为极坐标形式时，忘记将辐角调整到正确象限

原因:

反正切仅返回 $- \frac{π}{2}$ 到 $\frac{π}{2}$ 之间的值，对于第二、第三象限的复数这个结果是错误的

正确做法:

在阿尔冈图上标出点，确认象限，然后根据需要给反正切结果加上或减去 $π$ 进行调整

错误做法:

指数形式的辐角使用角度而非弧度

原因:

欧拉公式 $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ 仅当 $θ$ 以弧度为单位时成立

正确做法:

写出指数形式前，始终将角度制辐角转换为弧度制

错误做法:

题目要求求复数的n次方根时，只给出一个根

原因:

对于任意非零复数 $a$ ，方程 $z^{n} = a$ 有 $n$ 个不同解，阅卷老师要求你写出所有解

正确做法:

使用根公式，代入 $k = 0, 1, ..., n - 1$ 列出所有 $n$ 个根

错误做法:

混淆乘除运算中辐角的加法和减法

原因:

对乘法和除法的几何效应理解混淆

正确做法:

记住：乘法是辐角相加（将第一个复数按第二个复数的辐角旋转），除法是辐角相减

错误做法:

转换0的极坐标形式时，声称 $z = 0$ 有确定的主辐角

原因:

0位于原点，因此没有确定的方向或辐角

正确做法:

将0写为 $0 = 0 (cos θ + i sin θ)$ ， $θ$ 可以取任意值——不需要指定具体辐角

6. 速查表

运算	极坐标形式	指数形式
直角坐标形式转换	$r = x^{2} + y^{2}$ , $θ$ adjusted for quadrant: $z = r (cos θ + i sin θ)$	$r = x^{2} + y^{2}$ , $z = r e^{i θ}$ (θ in radians)
乘法	$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2}))$	$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$
除法	$z_{1} / z_{2} = (r_{1} / r_{2}) (cos (θ_{1} - θ_{2}) + i sin (θ_{1} - θ_{2}))$	$z_{1} / z_{2} = (r_{1} / r_{2}) e^{i (θ_{1} - θ_{2})}$
n次幂	$z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$	$z^{n} = r^{n} e^{in θ}$
n次方根	$z_{k} = r^{1/ n} (cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i sin (\frac{θ + 2 k π}{n})), k = 0.. n - 1$	$z_{k} = r^{1/ n} e^{i \frac{θ + 2 k π}{n}}, k = 0.. n - 1$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求一个复数的所有立方根
2023 · 2
在不同形式间转换，计算复数乘法

下一步

掌握复数的极坐标形式和指数形式是IB AA HL后续主题的基础，包括阿尔冈图上的轨迹和求解带复根的高阶多项式。这些表示形式也是工程和物理核心应用的基础，从信号处理到交流电路分析都有应用。本主题是大学数学和STEM领域所有复数进阶内容的基础。

→棣莫弗定理
→线性方程组