# 数的表示与进制系统

> IB 数学：分析与方法 HL · 单元 1：数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-number-representation-and-number-systems/

本模块介绍位值进制系统、常用进制之间的转换，以及基本二进制运算。它是IB AA HL中离散数学和所有后续内容的基础主题。

**先修:** 整数运算; 正整数的指数运算法则

## 学习目标

- 在任意进制之间进行转换，包括十进制、二进制和十六进制
- 解释位值进制系统的核心性质
- 进行二进制基本加法运算

## 位值进制系统

**位值进制系统** — 一种数字系统，其中每个数字的值取决于该数字本身及其位置。数的总价值等于每个数字乘以基数的位置指数次幂后的总和。

*记法:* $(d_n d_{n-1} ... d_0)_b$

*例:* $123_{10} = 1 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3 \times 10^0 = 123$

对于任意基数$b$，恰好有$b$个不同的数字，范围从$0$到$b-1$。IB AA HL中研究的所有进制都是位值进制，不同于罗马数字这类古老的非位值系统。

**概念自测**

检验你对基数规则的理解

1. 七进制中最大的单个数字是多少？

   - 5
   - 6
   - 7
   - 8

   *答案:* 6

   *解析:* 正确！任意基数$b$中的最大数字始终是$b-1$。如果你选了7，说明你混淆了基数本身和最大数字。

## 进制之间的转换

进制转换有两种核心过程：任意进制转十进制，以及十进制转任意其他进制。两者都遵循简单的分步规则。

1. 将$(d_n...d_0)_b$转换为十进制：展开位值和$\sum_{i=0}^n d_i \times b^i$，在十进制下计算结果。
2. 将十进制整数转换为基数$b$：反复除以$b$，收集余数，然后反转余数列表得到最终结果。

**例题:** 将$213_4$转换为十进制，再将结果转换为五进制。

1. 步骤1：使用位值展开将$213_4$转换为十进制：
2. $$2 \times 4^2 + 1 \times 4^1 + 3 \times 4^0 = 2(16) + 4 + 3 = 39$$
3. 步骤2：通过反复除法将$39_{10}$转换为五进制：
4. • $39 \div 5 = 7$，余数 = $4$（最低有效位）
5. • $7 \div 5 = 1$，余数 = $2$
6. • $1 \div 5 = 0$，余数 = $1$（最高有效位）
7. 步骤3：反转余数顺序得到最终结果：
8. $$124_5$$

> **tip**
>
> 对于小数，将小数部分反复乘以新基数，收集每次结果的整数部分，得到小数点后的各位数字。

## 二进制与十六进制

**十六进制** — 基数16的进制系统，用0-9表示值0-9，用字母A-F分别表示值10-15。在计算机领域用于简洁表示二进制数据。

由于$16 = 2^4$，每个十六进制数字直接对应4个二进制数字（位）。这提供了二进制和十六进制之间转换的捷径，无需通过十进制转换。

**例题:** 将$1011010_2$直接转换为十六进制。

1. 步骤1：从右开始将二进制数字分成4位一组，在最左侧补零使第一组完整：
2. $0101 \quad 1010$
3. 步骤2：将每个4位组转换为对应的十六进制值：
4. $0101_2 = 5$，$1010_2 = 10 = A$
5. 步骤3：组合所有数字得到最终结果：
6. $$5A_{16}$$

## 基本二进制运算

二进制加法遵循与十进制加法相同的过程，区别仅在于：当数字之和大于等于基数2（而非10）时，就向前一位进位。

**例题:** 计算$1011_2 + 1101_2$。

1. 步骤1：将两个数右对齐，从最右位开始相加：
2. 1 + 1 = 2 = $1 \times 2^1 + 0$，写0，进1
3. 步骤2：下一位：1 + 0 + 1（进位）= 2，写0，进1
4. 步骤3：下一位：0 + 1 + 1（进位）= 2，写0，进1
5. 步骤4：最左位：1 + 1 + 1（进位）= 3 = $1 \times 2^2 + 1$，写1，进1
6. 步骤5：将最后的进位作为新的最左位加上：
7. $$11000_2$$

## 常见错误

- **错误做法:** 将十进制转换为新进制时，按计算顺序书写余数。
  - 原因: 第一个计算得到的余数是最低有效（最右侧）数字，而非最高有效数字。
  - 正确做法: 反转收集到的余数顺序得到正确的最终结果，最后得到的余数作为最左侧数字。
- **错误做法:** 在十六进制中将10写为两个数字`10`，而非单个数字`A`。
  - 原因: 这会额外增加一个数字，使所有位值移位，导致结果错误。
  - 正确做法: 在十六进制运算中，始终将10-15表示为单个数字A-F。
- **错误做法:** 转换为十六进制时，从左侧开始分组二进制数字。
  - 原因: 从左侧分组会使所有位的位置值错误。
  - 正确做法: 对于整数二进制数，始终从右侧（最低有效端）开始分组。
- **错误做法:** 位值展开时，最右侧整数位的指数从1开始计数。
  - 原因: 这会使所有指数偏移1，导致转换为十进制时结果错误。
  - 正确做法: 无论基数是多少，最右侧整数位的指数始终为0。

## 速查表

| 概念 | 核心规则 |
| --- | --- |
| 基数$b$中的最大数字 | $b - 1$ |
| 转换为十进制 | Expand $d_n...d_0 = \sum_{i=0}^n d_i b^i$ |
| 十进制转新进制 | Repeated division, reverse remainders |
| 二进制 → 十六进制 | Group 4 bits from right, 1 hex digit per group |
| 二进制加法 | Carry 1 when sum ≥ 2 |

## 下一步

数的表示是IB AA HL中所有离散数学和代数内容的基础主题。你在这里练习的逻辑思维能力将帮助你解决大纲所有单元中更复杂的问题，包括数列、级数和微积分。掌握二进制和进制转换也能为你准备Paper 1中经常出现的逻辑、集合论和计数原理等主题做准备。本主题也是未来任何计算机科学或定量数学学习的基础。

- [数列与级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-sequences-and-series/)
- [指数与对数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-exponents-and-logarithms/)
- [计数原理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-counting-principles/)

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