指数与对数

IB 数学 AA HL· Unit 1: Number & Algebra, Topic 3· 15 分钟阅读

1. 指数运算法则★★☆☆☆⏱ 8 min

🚫 计算器禁用

📘 定义

指数表达式

$a^{n}$

表示底数 $a$ 重复相乘的表达式，对于正底数，指数可推广到全体实数

例:

$2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$

对于任意正实数 $a, b$ 和实数 $m, n$ ，以下核心法则成立：

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$
$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$
$a^{0} = 1$ , $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$
$a^{\frac{1}{n}} = n a$

📐 例题

将 $\frac{( 8 x ^{3} y ^{- 2} ) ^{\frac{1}{3}}}{( 4 x ^{4} y ^{- 3} ) ^{- \frac{1}{2}}}$ 化简为 $k x^{a} y^{b}$ 的形式

1
对分子和分母运用积的乘方法则：
2
$\frac{8^{1/3} (x^3)^{1/3} (y^{-2})^{1/3}}{4^{-1/2} (x^4)^{-1/2} (y^{-3})^{-1/2}}$
3
利用幂的乘方法则 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ 化简指数：
4
$\frac{2 x^1 y^{-2/3}}{\frac{1}{2} x^{-2} y^{3/2}}$
5
利用指数除法法则合并项：
6
$(2 \div \frac{1}{2}) \times x^{1 - (-2)} \times y^{-\frac{2}{3} - \frac{3}{2}} = 4x^3 y^{-\frac{13}{6}}$

Exam tip:

除非题目明确要求某一种格式，否则IB考试接受负指数和分式两种形式。

2. 对数运算法则★★☆☆☆⏱ 10 min

🚫 计算器禁用

📘 定义

对数

$lo g_{a} b$

当 $a > 0, a \neq = 1, b > 0$ 时， $lo g_{a} b = c$ 当且仅当 $a^{c} = b$ 。对数是以 $a$ 为底的指数函数的反函数。

例:

$lo g_{2} 8 = 3$ 因为 $2^{3} = 8$

所有对数法则都由指数法则推导而来，对于 $a > 0, a \neq = 1, x > 0, y > 0$ ，我们有以下法则：

$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
$lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
$lo g_{a} (x^{n}) = n lo g_{a} x$
$lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$
$a^{l o g_{a} b} = b$ , $lo g_{a} a^{c} = c$

📐 例题

将 $2 lo g_{3} 6 - \frac{1}{2} lo g_{3} 16 + 3 lo g_{3} 2$ 表示为单个对数

1
对每一项运用幂法则 $n lo g_{a} x = lo g_{a} x^{n}$ ：
2
$\log_3 6^2 - \log_3 16^{1/2} + \log_3 2^3$
3
化简对数内部的幂：
4
$\log_3 36 - \log_3 4 + \log_3 8$
5
利用对数乘积法则和商法则合并：
6
$\log_3 \left(\frac{36 \times 8}{4}\right) = \log_3 72$

3. 换底公式★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

当处理不同底数的对数，或计算非标准底数的对数值时，我们使用换底公式将其转换为常用底数（通常是 $e$ 或 10）。

📘 定义

换底公式

$lo g_{a} c$

对于 $a > 0, a \neq = 1$ 和 $b > 0, b \neq = 1$ ， $lo g_{a} c = \frac{l o g _{b} c}{l o g _{b} a}$ 。最常用的形式使用自然对数： $lo g_{a} c = \frac{l n c}{l n a}$ 。

📐 例题

求 $lo g_{4} 8 + lo g_{2} 12$ 的精确值

1
利用换底公式将 $lo g_{4} 8$ 改写为以 2 为底：
2
$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$
3
将两项相加，并用对数法则化简：
4
$\frac{3}{2} + \log_2 12 = \log_2 2^{3/2} + \log_2 12 = \log_2 (12 \times 2\sqrt{2}) = \log_2 (24\sqrt{2})$

4. 求解指数方程和对数方程★★★☆☆⏱ 12 min

✓ 计算器

我们利用指数和对数的互逆关系求解这两类方程。由于对数仅对正真数有定义，最后一步必须检验增根，这是关键步骤。

📐 例题

求解 $2^{2 x + 1} = 3^{x - 2}$ ，答案保留3位有效数字

1
对两边取自然对数：
2
$\ln(2^{2x+1}) = \ln(3^{x-2})$
3
运用对数幂法则：
4
$(2x+1)\ln 2 = (x-2)\ln 3$
5
整理方程，将含 $x$ 的项收集到左侧：
6
$2x \ln 2 - x \ln 3 = -2 \ln 3 - \ln 2$
7
提取公因子并求解 $x$ ：
8
$x = -\frac{2 \ln 3 + \ln 2}{2 \ln 2 - \ln 3} \approx -30.7$

📐 例题

求解 $lo g_{2} (x + 3) + lo g_{2} (x - 1) = 3$

1
利用乘积法则合并对数：
2
$\log_2 [(x+3)(x-1)] = 3$
3
改写为指数形式：
4
$(x+3)(x-1) = 2^3 = 8$
5
整理得到一元二次方程：
6
$x^2 + 2x - 11 = 0$
7
求解二次方程：
8
$x = -1 \pm 2\sqrt{3}$
9
检验定义域：对数要求 $x > 1$ ，因此舍去负解：
10
最终解： $x = - 1 + 23 \approx 2.46$

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $lo g_{a} (x + y)$ 展开为 $lo g_{a} x + lo g_{a} y$

原因:

对数乘积法则仅适用于乘积，不适用于真数的和

正确做法:

仅对乘积使用 $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ ，永远不要用于和

错误做法:

保留会使任意对数真数非正的负解

原因:

对数对非正真数无定义，因此这些解是增根

正确做法:

始终要根据原方程的定义域检验所有解

错误做法:

将 $(ln x)^{2}$ 改写为 $2 ln x$

原因:

$(ln x)^{2} = ln x \times ln x$ ，这和 $ln (x^{2})$ 并不相同

正确做法:

仅对幂的对数使用 $n ln x = ln x^{n}$ ，不要用于对数的幂

错误做法:

将 $a^{m^{n}}$ 化简为 $a^{mn}$

原因:

幂运算是右结合的，因此 $a^{m^{n}} = a^{(m^{n})}$ ，不是 $(a^{m})^{n}$

正确做法:

处理叠幂时，先计算最上方的指数

错误做法:

将 $\frac{l n 5}{l n 2}$ 化简为 $ln 5 - ln 2$

原因:

换底公式得到的对数的商不等于分数的对数

正确做法:

记住换底公式是 $lo g_{a} b = \frac{l n b}{l n a}$ ，不是 $ln (\frac{b}{a})$

6. 速查表

法则类型	公式
指数乘积法则	$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$
指数幂法则	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
对数乘积法则	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
对数幂法则	$lo g_{a} (x^{n}) = n lo g_{a} x$
逆恒等式	$a^{l o g_{a} b} = b$ , $lo g_{a} a^{c} = c$
换底公式	$lo g_{a} c = \frac{l n c}{l n a}$
定义	$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$
对数商法则	$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · Paper 1
化简混合对数表达式
2022 · Paper 2
求解指数方程中的 $x$
2021 · Paper 1
运用换底公式

深入阅读

syllabusIB AA HL 大纲第一单元官方大纲参考

下一步

指数与对数是IB AA HL几乎所有其他主题的基础。你在处理指数建模、指数对数函数的求导与积分、数列与级数、求解微分方程时都会不断用到这些法则。这个主题的小错误会引发更复杂问题中的错误，因此掌握这里的法则能帮你在后续保住大量分数。接下来，你会拓展这部分知识，学习指数函数和对数函数的图像与性质，之后再将这些概念应用到微积分中。