# 指数与对数

> IB 数学 AA HL · 数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-exponents-and-logarithms/

本模块讲解指数运算法则、对数运算法则、二者的互逆关系、换底公式以及指数/对数方程的求解，是IB AA HL试卷1和试卷2的核心内容。

**先修:** [基础指数记号](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-basic-indices/); [反函数性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-inverse-functions/)

## 学习目标

- 利用指数和对数法则化简表达式
- 解释指数函数与对数函数的互逆关系
- 运用对数换底公式
- 求解指数和对数方程，并检验增根

## 指数运算法则

**指数表达式** — 表示底数 $a$ 重复相乘的表达式，对于正底数，指数可推广到全体实数

*记法:* $a^n$

*例:* $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$

对于任意正实数 $a, b$ 和实数 $m, n$，以下核心法则成立：

- $a^m \times a^n = a^{m+n}$
- $a^m \div a^n = a^{m-n}$
- $(a^m)^n = a^{mn}$
- $(ab)^n = a^n b^n$
- $a^0 = 1$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

**例题:** 将 $\frac{(8x^3 y^{-2})^{\frac{1}{3}}}{(4x^4 y^{-3})^{-\frac{1}{2}}}$ 化简为 $kx^a y^b$ 的形式

1. 对分子和分母运用积的乘方法则：
2. $$\frac{8^{1/3} (x^3)^{1/3} (y^{-2})^{1/3}}{4^{-1/2} (x^4)^{-1/2} (y^{-3})^{-1/2}}$$
3. 利用幂的乘方法则 $(a^m)^n = a^{mn}$ 化简指数：
4. $$\frac{2 x^1 y^{-2/3}}{\frac{1}{2} x^{-2} y^{3/2}}$$
5. 利用指数除法法则合并项：
6. $$(2 \div \frac{1}{2}) \times x^{1 - (-2)} \times y^{-\frac{2}{3} - \frac{3}{2}} = 4x^3 y^{-\frac{13}{6}}$$

> **考试提示:** 除非题目明确要求某一种格式，否则IB考试接受负指数和分式两种形式。

*计算器:* forbidden

## 对数运算法则

**对数** — 当 $a>0, a \neq 1, b>0$ 时，$\log_a b = c$ 当且仅当 $a^c = b$。对数是以 $a$ 为底的指数函数的反函数。

*记法:* $\log_a b$

*例:* $\log_2 8 = 3$ 因为 $2^3 = 8$

所有对数法则都由指数法则推导而来，对于 $a>0, a \neq 1, x>0, y>0$，我们有以下法则：

- $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
- $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
- $\log_a (x^n) = n \log_a x$
- $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$
- $a^{\log_a b} = b$, $\log_a a^c = c$

**例题:** 将 $2 \log_3 6 - \frac{1}{2} \log_3 16 + 3 \log_3 2$ 表示为单个对数

1. 对每一项运用幂法则 $n \log_a x = \log_a x^n$：
2. $$\log_3 6^2 - \log_3 16^{1/2} + \log_3 2^3$$
3. 化简对数内部的幂：
4. $$\log_3 36 - \log_3 4 + \log_3 8$$
5. 利用对数乘积法则和商法则合并：
6. $$\log_3 \left(\frac{36 \times 8}{4}\right) = \log_3 72$$

*计算器:* forbidden

## 换底公式

当处理不同底数的对数，或计算非标准底数的对数值时，我们使用换底公式将其转换为常用底数（通常是 $e$ 或 10）。

**换底公式** — 对于 $a>0, a \neq 1$ 和 $b>0, b \neq 1$，$\log_a c = \frac{\log_b c}{\log_b a}$。最常用的形式使用自然对数：$\log_a c = \frac{\ln c}{\ln a}$。

*记法:* $\log_a c$

**例题:** 求 $\log_4 8 + \log_2 12$ 的精确值

1. 利用换底公式将 $\log_4 8$ 改写为以 2 为底：
2. $$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$$
3. 将两项相加，并用对数法则化简：
4. $$\frac{3}{2} + \log_2 12 = \log_2 2^{3/2} + \log_2 12 = \log_2 (12 \times 2\sqrt{2}) = \log_2 (24\sqrt{2})$$

> **tip**
>
> 当合并或化简含有多个底数的表达式时，务必将所有对数转换为同一底数。

*计算器:* allowed

## 求解指数方程和对数方程

我们利用指数和对数的互逆关系求解这两类方程。由于对数仅对正真数有定义，最后一步必须检验增根，这是关键步骤。

**例题:** 求解 $2^{2x+1} = 3^{x-2}$，答案保留3位有效数字

1. 对两边取自然对数：
2. $$\ln(2^{2x+1}) = \ln(3^{x-2})$$
3. 运用对数幂法则：
4. $$(2x+1)\ln 2 = (x-2)\ln 3$$
5. 整理方程，将含 $x$ 的项收集到左侧：
6. $$2x \ln 2 - x \ln 3 = -2 \ln 3 - \ln 2$$
7. 提取公因子并求解 $x$：
8. $$x = -\frac{2 \ln 3 + \ln 2}{2 \ln 2 - \ln 3} \approx -30.7$$

**例题:** 求解 $\log_2 (x+3) + \log_2 (x-1) = 3$

1. 利用乘积法则合并对数：
2. $$\log_2 [(x+3)(x-1)] = 3$$
3. 改写为指数形式：
4. $$(x+3)(x-1) = 2^3 = 8$$
5. 整理得到一元二次方程：
6. $$x^2 + 2x - 11 = 0$$
7. 求解二次方程：
8. $$x = -1 \pm 2\sqrt{3}$$
9. 检验定义域：对数要求 $x>1$，因此舍去负解：
10. 最终解：$x = -1 + 2\sqrt{3} \approx 2.46$

> **warning**
>
> IB考官会明确给检验并舍去增根的步骤打分，因此绝对不要跳过这一步。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 将 $\log_a(x+y)$ 展开为 $\log_a x + \log_a y$
  - 原因: 对数乘积法则仅适用于乘积，不适用于真数的和
  - 正确做法: 仅对乘积使用 $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$，永远不要用于和
- **错误做法:** 保留会使任意对数真数非正的负解
  - 原因: 对数对非正真数无定义，因此这些解是增根
  - 正确做法: 始终要根据原方程的定义域检验所有解
- **错误做法:** 将 $(\ln x)^2$ 改写为 $2 \ln x$
  - 原因: $(\ln x)^2 = \ln x \times \ln x$，这和 $\ln(x^2)$ 并不相同
  - 正确做法: 仅对幂的对数使用 $n \ln x = \ln x^n$，不要用于对数的幂
- **错误做法:** 将 $a^{m^n}$ 化简为 $a^{mn}$
  - 原因: 幂运算是右结合的，因此 $a^{m^n} = a^{(m^n)}$，不是 $(a^m)^n$
  - 正确做法: 处理叠幂时，先计算最上方的指数
- **错误做法:** 将 $\frac{\ln 5}{\ln 2}$ 化简为 $\ln 5 - \ln 2$
  - 原因: 换底公式得到的对数的商不等于分数的对数
  - 正确做法: 记住换底公式是 $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$，不是 $\ln(\frac{b}{a})$

## 速查表

| 法则类型 | 公式 |
| --- | --- |
| 指数乘积法则 | $a^m a^n = a^{m+n}$ |
| 指数幂法则 | $(a^m)^n = a^{mn}$ |
| 对数乘积法则 | $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ |
| 对数幂法则 | $\log_a(x^n) = n \log_a x$ |
| 逆恒等式 | $a^{\log_a b} = b$, $\log_a a^c = c$ |
| 换底公式 | $\log_a c = \frac{\ln c}{\ln a}$ |
| 定义 | $\log_a b = c \iff a^c = b$ |
| 对数商法则 | $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ |

## 下一步

指数与对数是IB AA HL几乎所有其他主题的基础。你在处理指数建模、指数对数函数的求导与积分、数列与级数、求解微分方程时都会不断用到这些法则。这个主题的小错误会引发更复杂问题中的错误，因此掌握这里的法则能帮你在后续保住大量分数。接下来，你会拓展这部分知识，学习指数函数和对数函数的图像与性质，之后再将这些概念应用到微积分中。

- [数列与级数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-sequences-and-series/)
- [计数原理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-counting-principles/)
- [二项式定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-binomial-theorem/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-exponents-and-logarithms/