# 棣莫弗定理

> IB 数学：分析与方法 HL · 数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-de-moivre-s-theorem/

本模块介绍适用于复数整数次幂的棣莫弗定理，求任意复数n次方根的方法，以及推导倍角三角恒等式的技巧，这是HL考试的常考主题。

**先修:** [复数的极坐标形式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-polar-form-complex-numbers/); [复数的指数形式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-exponential-form-complex-numbers/); [二项式定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-binomial-theorem/)

## 学习目标

- 运用棣莫弗定理计算复数的整数次幂
- 运用棣莫弗定理求出一个复数的所有n次方根
- 运用棣莫弗定理推导倍角三角恒等式
- 运用棣莫弗定理证明单位根的性质

## 整数次幂的棣莫弗定理

**棣莫弗定理（整数次幂）** — 对于任意整数$n$，$z$的n次幂为$z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) = r^n e^{in\theta}$。该定理对正整数和负整数$n$均成立。

*记法:* $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$

*例:* 适用于$n=10, n=-3$等情况。

**例题:** 用棣莫弗定理计算$(1 + i\sqrt{3})^6$的值。

1. 1. 将$z = 1 + i\sqrt{3}$转换为极坐标形式：
2. 模长：$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$，辐角：$\theta = \frac{\pi}{3}$
3. $$z = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}\right)$$
4. 2. 代入$n=6$应用棣莫弗定理：
5. $$z^6 = 2^6\left(\cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(6 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) = 64(\cos 2\pi + i\sin 2\pi)$$
6. 3. 化简得到最终结果：
7. $$z^6 = 64(1 + 0i) = 64$$

> **tip**
>
> 对于高次幂计算，棣莫弗定理远快于二项式展开，计算复数的整数次幂时请始终使用该定理。

## 求复数的n次方根

**复数的n次方根** — 对于给定非零复数$z$，满足$w^n = z$的任意复数$w$，其中$n$为正整数。所有非零$z$都恰好有$n$个不同的n次方根。

模长为$r$的复数的所有n次方根，均匀分布在以原点为圆心、半径为$r^{1/n}$的圆上，相邻根之间的辐角差为$\frac{2\pi}{n}$。

**例题:** 求$8i$的所有不同三次方根。

1. 1. 将$8i$写成一般极坐标形式：
2. $$z = 8\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right), \quad k \in \mathbb{Z}$$
3. 2. 设根为$w = \rho(\cos\phi + i\sin\phi)$，根据棣莫弗定理得$w^3 = z$：
4. $$\rho^3 (\cos 3\phi + i\sin 3\phi) = 8\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right)$$
5. 3. 等式两边模长和辐角相等：$\rho^3 = 8 \implies \rho = 2$，且$3\phi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies \phi = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}$
6. 4. 代入$k=0,1,2$得到3个不同根：
7. - $k=0: 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} + i$
- $k=1: 2\left(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6}\right) = -\sqrt{3} + i$
- $k=2: 2\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2}\right) = -2i$

> **exam_tip**
>
> 求所有不同根时，一定要在原辐角上加上$2k\pi$项，这是考试中最容易遗漏的步骤。

## 推导三角恒等式

IB考试中常见的题型要求推导用$\sin\theta$和$\cos\theta$的幂表示的$\sin n\theta$和$\cos n\theta$恒等式，这类问题需要结合棣莫弗定理和二项式定理求解。

**例题:** 用棣莫弗定理推导$\cos 3\theta$关于$\cos\theta$的表达式。

1. 1. 根据棣莫弗定理：
2. $$\cos 3\theta + i\sin 3\theta = (\cos\theta + i\sin\theta)^3$$
3. 2. 用二项式定理展开右侧：
4. $$(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta + 3i^2\cos\theta\sin^2\theta + i^3\sin^3\theta$$
5. 3. 化简$i$的幂，合并实部和虚部：
6. $$= \left(\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta\right) + i\left(3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta\right)$$
7. 4. 等式两边实部相等，然后代入$\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$：
8. $$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1-\cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$

**概念自测**

检验你的理解：

1. 用相同方法推导得到的$\sin 3\theta$的正确恒等式是哪一个？

   - $3\sin\theta - 4\sin^3\theta$
   - $4\sin^3\theta - 3\sin\theta$
   - $3\cos\theta - 4\cos^3\theta$

   *答案:* $3\sin\theta - 4\sin^3\theta$

   *解析:* 回答正确！你可以通过对展开式取虚部相等，再用$\cos^2\theta = 1-\sin^2\theta$化简得到该结果。

## 常见错误

- **错误做法:** 求n次方根时忘记在辐角上加$2k\pi$
  - 原因: 只会得到一个根而非全部n个不同根，导致失分。
  - 正确做法: 除以n前始终将原辐角写为$\theta + 2k\pi$，再取$k=0,1,...,n-1$。
- **错误做法:** 将$z^n$的模长错记为$n|z|$，而非$|z|^n$。
  - 原因: 复数的模长性质常被错记为可加性，实际应为可乘性。
  - 正确做法: 始终记住$|z^n| = |z|^n$，绝非$n|z|$。
- **错误做法:** 推导恒等式展开二项式时出现符号错误。
  - 原因: 展开时常遗漏i的幂产生的负项。
  - 正确做法: 合并项前分步化简i的幂：$i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$。
- **错误做法:** 直接对直角坐标形式的复数应用棣莫弗定理。
  - 原因: 该定理仅适用于极坐标/指数形式，直接应用会得到错误结果。
  - 正确做法: 应用棣莫弗定理前始终先转换为极坐标形式。

## 速查表

| 场景 | 公式 / 规则 |
| --- | --- |
| $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$的整数次幂 | $z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ |
| $z = r(\cos(\theta + 2k\pi) + i\sin(\theta + 2k\pi))$的n次方根 | Roots: $r^{1/n}\left(\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right), k=0,...,n-1$ |
| 推导$\cos n\theta$ | Equate real parts of $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ |
| 推导$\sin n\theta$ | Equate imaginary parts of $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ |
| n次单位根 | Roots = $e^{\frac{2k\pi i}{n}}, k=0,...,n-1$, equally spaced on unit circle |

## 下一步

棣莫弗定理是IB AA HL中所有复数进阶内容的基础工具，它经常出现在与多项式、三角学、辐角性质等其他主题结合的考题中。掌握本主题是理解单位根的前提，单位根可应用于多项式因式分解和复平面几何，这两者都是HL试卷中常见的拓展问答题。在本主题的基础上，你将探索复数更高级的性质及其在微积分中的应用。

- [线性方程组](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-systems-of-linear-equations/)
- [函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-overview/)

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