计数原理

IB 数学：分析与方法 HL· 45 分钟阅读

1. 基本计数法则★☆☆☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

所有计数问题都基于两条适用于不同逻辑场景的基本法则：用于独立连续选择的乘法原理，以及用于互斥选项的加法原理。

📘 定义

乘法原理

n \times m

如果完成第一项独立任务有 $n$ 种方式，完成第二项独立任务有 $m$ 种方式，那么依次完成两项任务共有 $n \times m$ 种方式。

例:

从5件衬衫选1件，3条领带选1条，总共可以得到 $5 \times 3 = 15$ 种穿搭组合。

当你从互斥组中恰好选择一个选项时，适用加法原理。如果A组有 $n$ 个选项，B组有 $m$ 个选项，总共有 $n + m$ 种可能的选择。

📐 例题

一家咖啡馆提供6种开胃菜、12种主菜和4种甜点。总共可以搭配出多少种三套餐？单点一份（开胃菜或主菜或甜点）总共有多少种选择？

1
三套餐需要每种各选一份（独立连续选择），因此适用乘法原理：
2
$6 \times 12 \times 4 = 288$
3
单点是互斥的（你只选一份），因此适用加法原理：
4
$6 + 12 + 4 = 22$
5
最终结果：288种三套餐，22种单点选择。

2. 不同元素的排列★★☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

当我们对不同元素的有序排列计数时使用排列。这里顺序会影响结果：交换两个元素会产生新的结果（例如给人们排队、创建密码）。

📘 定义

排列

P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}

从包含 $n$ 个不同元素的集合中选出 $k$ 个不同元素的有序选择的数量。排列全部 $n$ 个元素时， $P (n, n) = n!$ 。

📐 例题

用1-9的数字不重复组成三位数密码，一共可以得到多少种？4个人排成一排拍照有多少种排列方式？

1
对于密码，我们需要从9个数字中有序选出3个不同数字，因此计算 $P (9, 3)$ ：
2
$P(9,3) = \frac{9!}{(9-3)!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$
3
排列4个人时，我们需要排列全部4个不同的人，因此计算 $P (4, 4) = 4!$ ：
4
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
5
最终结果：504种密码，24种排列方式。

Exam tip:

选择排列公式前，请务必确认是否允许重复。

3. 组合（无序选择）★★★☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

当选择顺序不影响结果时使用组合。交换两个元素不会产生新的结果（例如选择学生委员会、从袋子中选弹珠）。

📘 定义

组合

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

从包含 $n$ 个不同元素的集合中选出 $k$ 个不同元素的无序选择的数量，其中 $0 \leq k \leq n$ 。

📐 例题

从8名学生中选出3人组成委员会，有多少种选法？从5个苹果和7个橙子中选出2个苹果和3个橙子，有多少种选法？

1
委员会成员是无序的，因此计算 $(3 8)$ ：
2
$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$
3
对于选水果，分别计算苹果和橙子的组合数，再用乘法原理相乘：
4
$\binom{5}{2} \times \binom{7}{3} = 10 \times 35 = 350$
5
最终结果：56种委员会选法，350种水果选法。

4. 含重复元素和限制条件的排列★★★★☆⏱ 20 min

✓ 计算器

IB考试题目经常出现含重复相同元素或位置限制的排列（例如元音必须放在单词开头）。这些问题需要调整计数公式。

对于 $n$ 个物品的排列，若存在大小为 $n_{1}, n_{2}, ..., n_{k}$ 的重复相同组，不同排列的数量为 $\frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! ... n _{k} !}$ 。

📐 例题

单词"STATISTICS"的字母可以形成多少种不同排列？

1
统计总字母数和重复组：总共有10个字母，其中S有3个，T有3个，I有2个，A有1个，C有1个。
2
代入含重复元素的排列公式：
3
$\frac{10!}{3! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = 50400$

对于含位置限制的问题，请始终先计数受限制的位置，再对剩余位置计数排列。

Exam tip:

对于受限制的排列，先固定受限制的元素，避免重复计数。

5. 常见陷阱

错误做法:

对无序选择使用排列

原因:

排列会计算顺序，因此会使无序结果多计数 $k!$ 倍

正确做法:

确认顺序是否影响结果：对无序选择使用组合

错误做法:

对允许重复的选择使用排列公式

原因:

不同元素的排列默认不允许重复，在允许重复时会导致计数不足

正确做法:

对允许重复的有序选择使用乘法原理 $n^{k}$

错误做法:

在AND/OR场景中错用加法代替乘法（或反之）

原因:

AND（两个事件都发生）需要乘法，OR（仅一个事件发生）需要加法

正确做法:

先确定逻辑关系：AND用乘法，OR用加法

错误做法:

对重复相同元素不除以对应阶乘

原因:

交换相同元素不会产生新排列，因此会导致重复计数

正确做法:

计数排列时，除以每个相同组大小的阶乘

6. 速查表

法则	适用场景	公式
乘法原理	独立连续选择（A 且 B）	$n \times m$
加法原理	互斥选项（A 或 B）	$n + m$
排列（无重复）	顺序影响结果，元素不同	$\frac{n !}{( n - k )!}$
组合	顺序不影响结果，无重复	$\frac{n !}{k ! ( n - k )!}$
含重复元素的排列	含相同元素的不同排列	$\frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! ... n _{k} !}$
允许重复的有序选择	允许重复，顺序影响结果	$n^{k}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · 1
6分排列计数题
2023 · 2
4分组合题

下一步

计数原理是IB AA HL中几乎所有组合数学和概率主题的基础。你马上会在二项式定理中用这些法则展开二项式、计算复合事件的概率，以及求解二项分布等离散分布的概率。含限制条件的高级计数问题也经常出现在Paper 1的小题和Paper 3的大题中，因此掌握这些法则可以避免在高分值题目中因简单错误丢分。