# 计数原理

> IB 数学：分析与方法 HL · 数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-counting-principles/

本子主题涵盖组合计数的核心法则，用于计算选择和排列的可能结果数。这些法则是IB AA HL后续主题中二项式定理和概率的基础。

**先修:** [阶乘和基本集合运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-sets-and-operations/)

## 学习目标

- 运用乘法原理和加法原理解决基础计数问题
- 根据顺序是否影响结果区分排列和组合
- 计算含重复相同元素和位置限制的排列问题
- 解决IB考试中常见的结合实际场景的组合问题

## 基本计数法则

所有计数问题都基于两条适用于不同逻辑场景的基本法则：用于独立连续选择的乘法原理，以及用于互斥选项的加法原理。

**乘法原理** — 如果完成第一项独立任务有$n$种方式，完成第二项独立任务有$m$种方式，那么依次完成两项任务共有$n \times m$种方式。

*记法:* n \times m

*例:* 从5件衬衫选1件，3条领带选1条，总共可以得到$5 \times 3 = 15$种穿搭组合。

当你从互斥组中恰好选择一个选项时，适用加法原理。如果A组有$n$个选项，B组有$m$个选项，总共有$n + m$种可能的选择。

**例题:** 一家咖啡馆提供6种开胃菜、12种主菜和4种甜点。总共可以搭配出多少种三套餐？单点一份（开胃菜或主菜或甜点）总共有多少种选择？

1. 三套餐需要每种各选一份（独立连续选择），因此适用乘法原理：
2. $$6 \times 12 \times 4 = 288$$
3. 单点是互斥的（你只选一份），因此适用加法原理：
4. $$6 + 12 + 4 = 22$$
5. 最终结果：288种三套餐，22种单点选择。

*计算器:* allowed

## 不同元素的排列

当我们对不同元素的有序排列计数时使用排列。这里顺序会影响结果：交换两个元素会产生新的结果（例如给人们排队、创建密码）。

**排列** — 从包含$n$个不同元素的集合中选出$k$个不同元素的有序选择的数量。排列全部$n$个元素时，$P(n,n) = n!$。

*记法:* P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}

> **tip**
>
> 如果允许元素重复，请使用乘法原理$n^k$，而非不同元素的排列公式。

**例题:** 用1-9的数字不重复组成三位数密码，一共可以得到多少种？4个人排成一排拍照有多少种排列方式？

1. 对于密码，我们需要从9个数字中有序选出3个不同数字，因此计算$P(9,3)$：
2. $$P(9,3) = \frac{9!}{(9-3)!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$$
3. 排列4个人时，我们需要排列全部4个不同的人，因此计算$P(4,4) = 4!$：
4. $$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$
5. 最终结果：504种密码，24种排列方式。

> **考试提示:** 选择排列公式前，请务必确认是否允许重复。

*计算器:* allowed

## 组合（无序选择）

当选择顺序不影响结果时使用组合。交换两个元素不会产生新的结果（例如选择学生委员会、从袋子中选弹珠）。

**组合** — 从包含$n$个不同元素的集合中选出$k$个不同元素的无序选择的数量，其中$0 \leq k \leq n$。

*记法:* \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

> **mnemonic**
>
> 排列讲究顺序，组合无关顺序。

**例题:** 从8名学生中选出3人组成委员会，有多少种选法？从5个苹果和7个橙子中选出2个苹果和3个橙子，有多少种选法？

1. 委员会成员是无序的，因此计算$\binom{8}{3}$：
2. $$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$
3. 对于选水果，分别计算苹果和橙子的组合数，再用乘法原理相乘：
4. $$\binom{5}{2} \times \binom{7}{3} = 10 \times 35 = 350$$
5. 最终结果：56种委员会选法，350种水果选法。

*计算器:* allowed

## 含重复元素和限制条件的排列

IB考试题目经常出现含重复相同元素或位置限制的排列（例如元音必须放在单词开头）。这些问题需要调整计数公式。

对于$n$个物品的排列，若存在大小为$n_1, n_2, ..., n_k$的重复相同组，不同排列的数量为$\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$。

**例题:** 单词"STATISTICS"的字母可以形成多少种不同排列？

1. 统计总字母数和重复组：总共有10个字母，其中S有3个，T有3个，I有2个，A有1个，C有1个。
2. 代入含重复元素的排列公式：
3. $$\frac{10!}{3! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = 50400$$

对于含位置限制的问题，请始终先计数受限制的位置，再对剩余位置计数排列。

> **考试提示:** 对于受限制的排列，先固定受限制的元素，避免重复计数。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对无序选择使用排列
  - 原因: 排列会计算顺序，因此会使无序结果多计数$k!$倍
  - 正确做法: 确认顺序是否影响结果：对无序选择使用组合
- **错误做法:** 对允许重复的选择使用排列公式
  - 原因: 不同元素的排列默认不允许重复，在允许重复时会导致计数不足
  - 正确做法: 对允许重复的有序选择使用乘法原理$n^k$
- **错误做法:** 在AND/OR场景中错用加法代替乘法（或反之）
  - 原因: AND（两个事件都发生）需要乘法，OR（仅一个事件发生）需要加法
  - 正确做法: 先确定逻辑关系：AND用乘法，OR用加法
- **错误做法:** 对重复相同元素不除以对应阶乘
  - 原因: 交换相同元素不会产生新排列，因此会导致重复计数
  - 正确做法: 计数排列时，除以每个相同组大小的阶乘

## 速查表

| 法则 | 适用场景 | 公式 |
| --- | --- | --- |
| 乘法原理 | 独立连续选择（A 且 B） | $n \times m$ |
| 加法原理 | 互斥选项（A 或 B） | $n + m$ |
| 排列（无重复） | 顺序影响结果，元素不同 | $\frac{n!}{(n-k)!}$ |
| 组合 | 顺序不影响结果，无重复 | $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ |
| 含重复元素的排列 | 含相同元素的不同排列 | $\frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$ |
| 允许重复的有序选择 | 允许重复，顺序影响结果 | $n^k$ |

## 下一步

计数原理是IB AA HL中几乎所有组合数学和概率主题的基础。你马上会在二项式定理中用这些法则展开二项式、计算复合事件的概率，以及求解二项分布等离散分布的概率。含限制条件的高级计数问题也经常出现在Paper 1的小题和Paper 3的大题中，因此掌握这些法则可以避免在高分值题目中因简单错误丢分。

- [二项式定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-binomial-theorem/)
- [证明方法（仅HL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-proof-techniques/)
- [复数基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-complex-numbers-fundamentals/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-counting-principles/