复数基础

IB 数学：分析与方法 HL· IB AA HL 1.11· 15 分钟阅读

1. 核心定义与直角坐标形式★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

复数（直角坐标形式）

$z = a + bi$

由实部 $a = Re (z)$ 和虚部 $b = Im (z)$ 组成的数，满足 $i^{2} = - 1$ ，其中 $a, b$ 均为实数。

例:

对于 $z = 3 - 2 i$ ， $Re (z) = 3$ ， $Im (z) = - 2$ （不是 $- 2 i$ ）。

直角坐标形式下复数的基础运算遵循标准代数规则，只有一个关键调整：化简时将所有 $i^{2}$ 替换为 $- 1$ 。

加法： $(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$ ，分别将实部和虚部相加
减法： $(a + bi) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i$ ，结构与加法相同
Multiplication: Expand like a binomial product, substitute $i^{2} = - 1$ , then group terms

📐 例题

已知 $z_{1} = 4 + 2 i$ ， $z_{2} = 1 - 3 i$ ，计算(a) $z_{1} + z_{2}$ ，(b) $z_{1} z_{2}$ 。

1
加法中，将实部和虚部分别合并：
2
$z_1 + z_2 = (4 + 1) + (2 + (-3))i = 5 - i$
3
乘法中，展开二项式乘积：
4
$(4 + 2i)(1 - 3i) = 4(1) + 4(-3i) + 2i(1) + 2i(-3i) = 4 - 12i + 2i - 6i^2$
5
代入 $i^{2} = - 1$ 并化简：
6
$= 4 - 10i - 6(-1) = 10 - 10i$

2. 几何表示：阿根图★★☆☆☆⏱ 4 min

任意复数都可以表示在一个名为阿根图（或复平面）的特殊坐标平面上，对应一个点或位置向量。

📘 定义

阿根图

一个坐标平面，横轴为实轴（对应 $Re (z)$ ），纵轴为虚轴（对应 $Im (z)$ ）。复数 $z = a + bi$ 对应点 $(a, b)$ 。

📐 例题

在阿根图上画出 $z_{1} = 3 + i$ ， $z_{2} = - 2 - 2 i$ 和 $z_{1} + z_{2}$ ，验证加法符合向量加法规则。

1
首先确定每个点的坐标： $z_{1} = (3, 1)$ ， $z_{2} = (- 2, - 2)$
2
计算和得到它的坐标：
3
$z_1 + z_2 = (3-2) + (1-2)i = 1 - i \rightarrow (1, -1)$
4
当画图后，点 $(1, - 1)$ 是两个位置向量的合向量，符合向量加法的平行四边形法则。

3. 模与主辐角★★★☆☆⏱ 6 min

复数的极坐标形式由两个关键属性定义：模（到原点的距离）和辐角（与正实轴的夹角）。

📘 定义

模与主辐角

$∣ z ∣$ , $ar g (z)$

对于 $z = a + bi$ ，模 $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ 是到原点的距离。主辐角 $ar g (z)$ 是从正实轴逆时针测量的角度，IB规定其范围为 $- π < ar g (z) \leq π$ 。

📐 例题

求 $z = - 1 + 3 i$ 的模和主辐角。

1
用勾股定理计算模：
2
$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
3
确定象限： $Re (z) < 0$ ， $Im (z) > 0$ ，因此 $z$ 位于第二象限。计算参考角：
4
$\tan \alpha = \left| \frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)} \right| = \left| \frac{\sqrt{3}}{-1} \right| = \sqrt{3} \implies \alpha = \frac{\pi}{3}$
5
调整角度得到第二象限的主辐角：
6
$\arg(z) = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

4. 极坐标（模-辐角）形式★★★☆☆⏱ 5 min

利用阿根图上的直角三角学，我们可以将任意非零复数写成极坐标形式，这种形式相比直角坐标形式更适合乘法、除法和幂运算。

📘 定义

复数的极坐标形式

$z = r (cos θ + i sin θ)$

对于模为 $r = ∣ z ∣$ 、主辐角为 $θ = ar g (z)$ 的任意非零复数， $z$ 可以写成 $r (cos θ + i sin θ)$ ，其中对于 $z = a + bi$ ，有 $a = r cos θ$ ， $b = r sin θ$ 。

📐 例题

将 $z = 1 - i$ 从直角坐标形式转换为极坐标形式。

1
首先计算模 $r$ ：
2
$r = |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
3
求主辐角 $θ$ ： $z$ 位于第四象限，因此：
4
$\tan \theta = \frac{-1}{1} = -1 \implies \theta = -\frac{\pi}{4}$
5
写出最终的极坐标形式：
6
$z = \sqrt{2} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)$

5. 常见陷阱

错误做法:

对于 $z = a + bi$ ，认为 $Im (z) = bi$ ，而非仅 $b$ 。

原因:

虚部定义为 $i$ 的实系数，它本身不包含 $i$ 。

正确做法:

对于 $z = 5 - 3 i$ ， $Im (z) = - 3$ ，不是 $- 3 i$ 。

错误做法:

直接写 $ar g (z) = arctan (\frac{b}{a})$ ，没有根据象限调整。

原因:

反正切函数仅返回 $- \frac{π}{2}$ 到 $\frac{π}{2}$ 之间的值，因此对于第二和第三象限结果错误。

正确做法:

先求参考角，再根据 $z$ 所在象限调整得到正确的主辐角。

错误做法:

对于正实数 $a, b$ ，化简得到 $- a \times - b = ab$ 。

原因:

平方根恒等式 $x y = x y$ 仅对非负实数 $x, y$ 成立。

正确做法:

先改写 $- a = i a$ ， $- b = i b$ ，再相乘得到 $- ab$ 。

错误做法:

主辐角使用范围 $0 \leq ar g (z) < 2 π$ 。

原因:

除非另有说明，IB AA HL大纲要求主辐角在 $- π < ar g (z) \leq π$ 范围内。

正确做法:

将大于 $π$ 的角度减去 $2 π$ ，使其落入主值范围。

错误做法:

将模计算为 $a^{2} - b^{2}$ 而非平方和。

原因:

混淆了勾股定理和平方差公式。

正确做法:

模是到原点的距离，因此始终使用 $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ 。

6. 速查表

概念	公式/规则
直角坐标形式	$z = a + bi$ , $Re (z) = a$ , $Im (z) = b$ , $i^{2} = - 1$
模	$∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$
主辐角范围	$- π < ar g (z) \leq π$
加法	$(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$
乘法	$(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$
极坐标形式	$z = r (cos θ + i sin θ)$ , $r = ∣ z ∣$ , $θ = ar g (z)$
阿根图坐标	$z = a + bi \leftrightarrow (a, b)$

7. 常见问题

IB中主辐角的范围总是 $- π < ar g (z) \leq π$ 吗？

是的，这是IB AA HL大纲要求的标准范围，除非题目明确要求角度在 $0 \leq θ < 2 π$ 范围内。

我可以写 $i = - 1$ 吗？

在入门场景中这是可以接受的，但请记住平方根函数仅对非负实数有定义，因此除非你先明确定义，否则避免在证明中使用 $- a = i a$ 。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

扎实掌握复数基础是IB AA HL后续所有复数主题的要求，从极坐标形式的复数乘法到棣莫弗定理和求复数根都离不开它。它也是多项式的复共轭根定理的基础，而这是考试中常见的考点。这里建立的复数几何直觉会帮助你理解复数乘法的旋转和缩放性质，这在拓展回答题中经常出现。