二项式定理

IB 数学分析与方法 HL· Topic 1: Number & Algebra· 5 分钟阅读

1. 二项式定理基础与二项式系数★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

二项式定理

(a + b)^n, n \in \mathbb{Z}^+

对于任意正整数 $n$ ， $(a + b)^{n}$ 的展开式是 $k$ 从 $0$ 到 $n$ 、形式为 $(k n) a^{n - k} b^{k}$ 的各项之和。

例:

For $n = 2$ , $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

📐 例题

使用组合公式和帕斯卡三角形分别计算 $(2 5)$ 。

1
回忆二项式系数的组合公式：
2
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
3
代入 $n = 5, k = 2$ ：
4
$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$
5
对于帕斯卡三角形，从 $n = 0$ 开始计数的第5行是 $[1, 5, 10, 10, 5, 1]$ 。索引2处的数值为10，与公式计算结果一致。

Exam tip:

始终可以通过快速检查验证：任意一项中 $a$ 和 $b$ 的指数和一定等于 $n$ ，能帮你快速发现错误。

2. 展开完整的二项式表达式★★★☆☆⏱ 20 min

对于较小的 $n$ ，帕斯卡三角形可以快速给出系数；对于较大的 $n$ ，组合公式更可靠。展开时一定要注意负项的符号。

📐 例题

完整展开 $(2 x - 3 y)^{4}$ 。

1
确定 $a = 2 x$ ， $b = - 3 y$ ， $n = 4$ 。 $n = 4$ 对应的二项式系数为 $1, 4, 6, 4, 1$ 。
2
分别计算每一项：
3
$k=0: 1(2x)^4(-3y)^0 = 16x^4$
4
$k=1: 4(2x)^3(-3y)^1 = -96x^3y$
5
$k=2: 6(2x)^2(-3y)^2 = 216x^2y^2$
6
$k=3: 4(2x)^1(-3y)^3 = -216xy^3$
7
$k=4: 1(2x)^0(-3y)^4 = 81y^4$
8
合并所有项得到完整展开式：
9
$(2x - 3y)^4 = 16x^4 - 96x^3y + 216x^2y^2 - 216xy^3 + 81y^4$

✓ 快速检测

$(x + 2)^{5}$ 中 $x^{3}$ 的系数是多少？

$(x + 2)^{5}$ 中 $x^{3}$ 的系数是多少？
- 10
- 40
- 80
- 20
显示答案
40 —
该项为 $(3 5) x^{3} (2)^{2} = 10 \times 4 x^{3} = 40 x^{3}$ ，因此系数为40。

3. 求特定项或系数★★★☆☆⏱ 20 min

IB考试中的大多数题目不要求完整展开，而是要求 $x$ 特定次幂的系数或常数项，我们可以通过通项公式直接求出，无需展开全部。

📘 定义

通项

$(a + b)^{n}$ 展开式中第 $(k + 1)$ 项为 $T_{k + 1} = (k n) a^{n - k} b^{k}$ ，其中 $k$ 的取值范围是从 $0$ 到 $n$ 。

📐 例题

求 $(x^{2} + \frac{2}{x})^{6}$ 展开式中的常数项。

1
写出该展开式的通项：
2
$T_{k+1} = \binom{6}{k} (x^2)^{6 - k} \left(\frac{2}{x}\right)^k$
3
化简 $x$ 的指数：
4
$\text{exponent} = 2(6 - k) - k = 12 - 3k$
5
我们要求常数项，因此将 $x$ 的指数设为0：
6
$12 - 3k = 0 \implies k = 4$
7
将 $k = 4$ 回代计算常数项：
8
$T_5 = \binom{6}{4} (x^2)^2 \left(\frac{2}{x}\right)^4 = 15 \times x^4 \times \frac{16}{x^4} = 240$

Exam tip:

项数是 $k + 1$ ，不是 $k$ 。如果题目要求第5项，你应该用 $k = 4$ ，而不是 $k = 5$ 。

4. 近似计算应用★★★★☆⏱ 15 min

当 $x$ 非常小时，二项式定理常被用于近似计算 $(1 + x)^{n}$ 形式的值，此时高次项可以忽略不计。

📐 例题

使用二项式定理近似计算 $(1.02)^{8}$ ，结果保留三位小数。

1
将 $1.02$ 改写为 $1 + 0.02$ ，因此我们展开 $(1 + 0.02)^{8}$ ：
2
$k=0: 1(1)^8(0.02)^0 = 1$
3
$k=1: 8(1)^7(0.02)^1 = 0.16$
4
$k=2: 28(1)^6(0.02)^2 = 0.0112$
5
$k=3: 56(1)^5(0.02)^3 = 0.000448$
6
$k \geq 4$ 对应的项小于0.000001，对于保留三位小数的精度要求可以忽略。将各项相加：
7
$1 + 0.16 + 0.0112 + 0.000448 = 1.171648 \approx 1.172$

5. 常见陷阱

错误做法:

展开 $(a - b)^{n}$ 时忘记添加负号，错误地将 $b$ 当作正数处理。

原因:

这会导致展开式中交替项的符号错误。

正确做法:

始终将 $b$ 写成 $- ∣ b ∣$ ，那么 $(- ∣ b ∣)^{k}$ 会自动给出正确的符号。

错误做法:

求第5项时取 $k = 5$ ，而不是 $k = 4$ 。

原因:

通项中第一项对应 $k = 0$ ，不是 $k = 1$ 。

正确做法:

记住 $T_{k + 1}$ 是第 $(k + 1)$ 项：用项数减1得到 $k$ 。

错误做法:

错误化简指数，例如将 $(x^{2})^{n - k}$ 错误计算为 $x^{2 + n - k}$ ，而不是 $x^{2 (n - k)}$ 。

原因:

错误应用幂的乘方法则会得到错误的 $k$ 和错误的系数。

正确做法:

始终逐步写出指数化简过程，记住 $(x^{m})^{n} = x^{mn}$ 。

错误做法:

对非正整数 $n$ 使用有限二项式公式。

原因:

混淆了正整数二项式定理和无限广义二项式级数。

正确做法:

仅当 $n$ 是正整数时使用 $k$ 从 $0$ 到 $n$ 的求和公式，其他指数使用广义二项式级数。

6. 速查表

概念	公式/法则
二项式定理	$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k}, n \in Z^{+}$
二项式系数	$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}, (0 n) = 1$
通项	$T_{k + 1} = (k n) a^{n - k} b^{k}$ , $k = 0$ → 第一项
常数项	令 $x$ 的指数 = 0，求解 $k$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

掌握正整数指数的二项式定理是学习组合数学、概率和非整数指数广义二项式级数的基础，后者常用于微积分和级数中的近似计算问题。IB考试中该主题经常与组合结合考查计数问题。在掌握本知识点后，你可以进一步学习建立在二项式核心概念基础上的代数和级数主题。