# 二项式定理

> IB 数学分析与方法 HL · 数与代数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-binomial-theorem/

本模块讲解正整数指数的二项式定理，包括二项式系数计算、求展开式中的特定项，以及IB AA HL中该定理在近似计算和组合问题中的常见应用。

**先修:** [组合与排列](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-combinations-permutations/)

## 学习目标

- 展开正整数$n$次幂、形式为$(a + b)^n$的二项式表达式
- 使用组合和帕斯卡三角形计算二项式系数
- 求出二项展开式中的特定项和系数
- 将二项式定理应用于近似计算问题

## 二项式定理基础与二项式系数

**二项式定理** — 对于任意正整数$n$，$(a + b)^n$的展开式是$k$从$0$到$n$、形式为$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$的各项之和。

*记法:* (a + b)^n, n \in \mathbb{Z}^+

*例:* For $n=2$, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

> **帕斯卡三角形法则**
>
> 帕斯卡三角形的第$n$行（从0开始计数）给出了$(a + b)^n$的所有二项式系数。每行的第一个和最后一个数都是1，每个数等于它上方两个数之和。

**例题:** 使用组合公式和帕斯卡三角形分别计算$\binom{5}{2}$。

1. 回忆二项式系数的组合公式：
2. $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
3. 代入$n=5, k=2$：
4. $$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$$
5. 对于帕斯卡三角形，从$n=0$开始计数的第5行是$[1, 5, 10, 10, 5, 1]$。索引2处的数值为10，与公式计算结果一致。

> **考试提示:** 始终可以通过快速检查验证：任意一项中$a$和$b$的指数和一定等于$n$，能帮你快速发现错误。

## 展开完整的二项式表达式

对于较小的$n$，帕斯卡三角形可以快速给出系数；对于较大的$n$，组合公式更可靠。展开时一定要注意负项的符号。

**例题:** 完整展开$(2x - 3y)^4$。

1. 确定$a = 2x$，$b = -3y$，$n=4$。$n=4$对应的二项式系数为$1, 4, 6, 4, 1$。
2. 分别计算每一项：
3. $$k=0: 1(2x)^4(-3y)^0 = 16x^4$$
4. $$k=1: 4(2x)^3(-3y)^1 = -96x^3y$$
5. $$k=2: 6(2x)^2(-3y)^2 = 216x^2y^2$$
6. $$k=3: 4(2x)^1(-3y)^3 = -216xy^3$$
7. $$k=4: 1(2x)^0(-3y)^4 = 81y^4$$
8. 合并所有项得到完整展开式：
9. $$(2x - 3y)^4 = 16x^4 - 96x^3y + 216x^2y^2 - 216xy^3 + 81y^4$$

**概念自测**

$(x + 2)^5$中$x^3$的系数是多少？

1. $(x + 2)^5$中$x^3$的系数是多少？

   - 10
   - 40
   - 80
   - 20

   *解析:* 该项为$\binom{5}{3}x^3(2)^2 = 10 \times 4 x^3 = 40x^3$，因此系数为40。

## 求特定项或系数

IB考试中的大多数题目不要求完整展开，而是要求$x$特定次幂的系数或常数项，我们可以通过通项公式直接求出，无需展开全部。

**通项** — $(a + b)^n$展开式中第$(k+1)$项为$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$，其中$k$的取值范围是从$0$到$n$。

**例题:** 求$\left(x^2 + \frac{2}{x}\right)^6$展开式中的常数项。

1. 写出该展开式的通项：
2. $$T_{k+1} = \binom{6}{k} (x^2)^{6 - k} \left(\frac{2}{x}\right)^k$$
3. 化简$x$的指数：
4. $$\text{exponent} = 2(6 - k) - k = 12 - 3k$$
5. 我们要求常数项，因此将$x$的指数设为0：
6. $$12 - 3k = 0 \implies k = 4$$
7. 将$k=4$回代计算常数项：
8. $$T_5 = \binom{6}{4} (x^2)^2 \left(\frac{2}{x}\right)^4 = 15 \times x^4 \times \frac{16}{x^4} = 240$$

> **考试提示:** 项数是$k+1$，不是$k$。如果题目要求第5项，你应该用$k=4$，而不是$k=5$。

## 近似计算应用

当$x$非常小时，二项式定理常被用于近似计算$(1 + x)^n$形式的值，此时高次项可以忽略不计。

**例题:** 使用二项式定理近似计算$(1.02)^8$，结果保留三位小数。

1. 将$1.02$改写为$1 + 0.02$，因此我们展开$(1 + 0.02)^8$：
2. $$k=0: 1(1)^8(0.02)^0 = 1$$
3. $$k=1: 8(1)^7(0.02)^1 = 0.16$$
4. $$k=2: 28(1)^6(0.02)^2 = 0.0112$$
5. $$k=3: 56(1)^5(0.02)^3 = 0.000448$$
6. $k \geq 4$对应的项小于0.000001，对于保留三位小数的精度要求可以忽略。将各项相加：
7. $$1 + 0.16 + 0.0112 + 0.000448 = 1.171648 \approx 1.172$$

## 常见错误

- **错误做法:** 展开$(a - b)^n$时忘记添加负号，错误地将$b$当作正数处理。
  - 原因: 这会导致展开式中交替项的符号错误。
  - 正确做法: 始终将$b$写成$-|b|$，那么$(-|b|)^k$会自动给出正确的符号。
- **错误做法:** 求第5项时取$k=5$，而不是$k=4$。
  - 原因: 通项中第一项对应$k=0$，不是$k=1$。
  - 正确做法: 记住$T_{k+1}$是第$(k+1)$项：用项数减1得到$k$。
- **错误做法:** 错误化简指数，例如将$(x^2)^{n-k}$错误计算为$x^{2 + n -k}$，而不是$x^{2(n-k)}$。
  - 原因: 错误应用幂的乘方法则会得到错误的$k$和错误的系数。
  - 正确做法: 始终逐步写出指数化简过程，记住$(x^m)^n = x^{mn}$。
- **错误做法:** 对非正整数$n$使用有限二项式公式。
  - 原因: 混淆了正整数二项式定理和无限广义二项式级数。
  - 正确做法: 仅当$n$是正整数时使用$k$从$0$到$n$的求和公式，其他指数使用广义二项式级数。

## 速查表

| 概念 | 公式/法则 |
| --- | --- |
| 二项式定理 | $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k, n \in \mathbb{Z}^+$ |
| 二项式系数 | $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}, \binom{n}{0} = 1$ |
| 通项 | $T_{k+1} = \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$, $k=0$ → 第一项 |
| 常数项 | 令$x$的指数 = 0，求解$k$ |

## 下一步

掌握正整数指数的二项式定理是学习组合数学、概率和非整数指数广义二项式级数的基础，后者常用于微积分和级数中的近似计算问题。IB考试中该主题经常与组合结合考查计数问题。在掌握本知识点后，你可以进一步学习建立在二项式核心概念基础上的代数和级数主题。

- [证明方法（仅HL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-proof-techniques/)
- [复数基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-complex-numbers-fundamentals/)
- [复数的极坐标形式与指数形式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-polar-and-exponential-form-of/)

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