IBO · ibo-math-aa-hl · IB Math: Analysis & Approaches HL · Number and Algebra / 数与代数 · 阅读约 15 分钟 · 更新于 2026-05-06

数与代数 (Number and Algebra) — IB Math AA HL AA HL 学习指南

适合谁：IB Math AA HL 参加 IB Math: Analysis & Approaches HL 的考生。

覆盖内容：序列（等差等比数列与求和符号）、计数原理（排列组合与二项式定理）、对数运算与方程、复数（笛卡尔与极坐标形式）、HL专属数学归纳法、线性方程组求解六大核心子主题。

前置知识：IGCSE / pre-DP 数学，熟悉证明与代数推导。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 IB Math AA HL 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 IBO 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 IBO 官方 mark scheme。

1. 什么是数与代数？

数与代数是IB Math AA HL的核心基础模块，占卷面总分的20%-25%，为后续微积分、统计、几何板块提供通用代数运算与证明工具。本模块重点考察你的代数推导严谨性、公式灵活运用能力，HL专属的数学归纳法考点是每年Paper 1、Paper 2证明题的高频出题点。

2. 数列与求和符号（Sequences: Arithmetic, Geometric & Sigma Notation）

本章节核心是两类基本数列与求和记号：

等差数列（arithmetic sequence）：后项与前项的差为固定公差 $d$ ，通项公式为 $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ ，前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d] = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n})$
等比数列（geometric sequence）：后项与前项的比为固定公比 $r$ ，通项公式为 $u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$ ，前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = u_{1} \cdot \frac{1 - r ^{n}}{1 - r} (r \neq = 1)$ 当 $∣ r ∣ < 1$ 时，无穷等比数列收敛，和为 $S_{\infty} = \frac{u _{1}}{1 - r}$
求和符号（sigma notation）： $\sum_{k = a}^{b} u_{k}$ 表示对 $k$ 从 $a$ 到 $b$ 的所有 $u_{k}$ 求和。

范例：求 $\sum_{k = 1}^{10} 2 \cdot 3^{k - 1}$ 的值。这是首项 $u_{1} = 2$ 、公比 $r = 3$ 的等比数列求和，代入公式得 $S_{10} = 2 \cdot \frac{1 - 3 ^{10}}{1 - 3} = 3^{10} - 1 = 59048$ 。

3. 计数原理与二项式定理（Counting: Combinations, Permutations & Binomial Theorem）

本章节核心是排列、组合与多项式展开规则：

排列（permutation）：从 $n$ 个不同元素中选 $r$ 个排序，公式为 $P (n, r) = \frac{n !}{( n - r )!}$
组合（combination）：从 $n$ 个不同元素中选 $r$ 个不排序，公式为 $C (n, r) = (r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$
二项式定理（binomial theorem）：对正整数 $n$ ，有 $(a + b)^{n} = r = 0 \sum n (r n) a^{n - r} b^{r}$

范例：求 $(2 x - 3)^{5}$ 中 $x^{3}$ 项的系数。令 $r = 2$ ，代入得 $(2 5) (2 x)^{3} (- 3)^{2} = 10 \cdot 8 x^{3} \cdot 9 = 720 x^{3}$ ，因此系数为720。

4. 对数运算与方程（Logarithms: Laws & Equations）

**对数（logarithm）**是指数的逆运算，定义为 $a^{x} = b ⟺ lo g_{a} b = x$ （其中 $a > 0, a \neq = 1, b > 0$ ），核心运算法则：

$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
$lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
$lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$
换底公式： $lo g_{a} b = \frac{l n b}{l n a}$

范例：解方程 $2^{x + 1} = 3^{2 x}$ 。两边取自然对数得 $(x + 1) ln 2 = 2 x ln 3$ ，整理得 $x (ln 2 - 2 ln 3) = - ln 2$ ，因此 $x = \frac{l n 2}{2 l n 3 - l n 2} \approx 0.46$ 。

5. 复数：笛卡尔与极坐标形式（Complex Numbers: Cartesian & Polar Form）

**复数（complex number）**有两种标准表达形式：

笛卡尔形式（Cartesian form）： $z = a + bi$ ，其中 $a, b \in R, i^{2} = - 1$ ， $a$ 为实部 $Re (z)$ ， $b$ 为虚部 $Im (z)$
极坐标形式（polar form）： $z = r (cos θ + i sin θ) = r cis θ$ ，其中 $r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ 为模长， $θ = ar g (z) \in (- π, π]$ 为主辐角。

范例：将 $z = 1 + i 3$ 转换为极坐标形式。模长 $r = 1^{2} + (3)^{2} = 2$ ， $tan θ = 3$ 且 $z$ 在第一象限，因此 $θ = \frac{π}{3}$ ，极坐标形式为 $z = 2 cis (\frac{π}{3})$ 。

6. 数学归纳法（Mathematical Induction, HL Only）

数学归纳法是HL专属考点，用于证明与正整数相关的命题，步骤固定为4步：

基例（base case）：证明 $n$ 取第一个正整数（通常为1）时命题成立
归纳假设（inductive hypothesis）：假设 $n = k$ （ $k$ 为正整数）时命题成立
归纳步骤（inductive step）：用归纳假设证明 $n = k + 1$ 时命题成立
结论：命题对所有大于等于基例的正整数成立

范例：证明对所有正整数 $n$ ， $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 。基例 $n = 1$ 时左边=1，右边= $\frac{1 \times 2}{2} = 1$ ，成立；假设 $n = k$ 时成立， $n = k + 1$ 时左边= $\frac{k ( k + 1 )}{2} + (k + 1) = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}$ ，与右边一致，因此命题成立。

7. 线性方程组求解（Solutions of Systems of Linear Equations）

本章节核心是用高斯消元法求解三元及以上线性方程组，步骤为：

写出增广矩阵（augmented matrix），系数矩阵与常数项用竖线分隔
行变换将矩阵化为行阶梯形，判断解的情况：无矛盾行则有唯一解，有全零行则有无穷多解，出现 $0 = c$ （ $c \neq = 0$ ）的矛盾行则无解
回代求出所有变量的值

范例：求解方程组 $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 2 x - y + z = 3 3 x + 2 y - z = 4$ ，消元后得 $x = 1, y = 2, z = 3$ ，为唯一解。

8. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

错误：无穷等比数列求和直接用 $S_{\infty} = \frac{u _{1}}{1 - r}$ ，不检查 $∣ r ∣ < 1$ 的条件。原因：忽略收敛前提，把有限和公式和无穷和公式混用。正确做法：用无穷和公式前先验证公比绝对值小于1，否则只能用有限项求和公式。
错误：排列组合混用，有序问题用组合、无序问题用排列。原因：未明确题目是否要求排序。正确做法：选完元素需要排序用 $P (n, r)$ ，不需要排序用 $C (n, r)$ 。
错误：解对数方程后不验根，出现真数小于等于0的增根。原因：忽略对数的定义域限制。正确做法：解完所有根后代入原方程，验证真数大于0，舍去不符合要求的根。
错误：复数辐角未取主值范围 $(- π, π]$ ，把第三象限角写成大于 $π$ 的正角。原因：未记清主值的定义范围。正确做法：辐角在第二象限取正，第三、四象限取负，确保结果落在 $(- π, π]$ 区间内。

9. 练习题（IB Math AA HL 风格）

题1

已知等差数列首项为5，前10项和为275，求公差 $d$ 与第20项的值。解答：代入等差数列求和公式 $S_{10} = \frac{10}{2} (2 \times 5 + 9 d) = 5 (10 + 9 d) = 275$ ，解得 $10 + 9 d = 55$ ， $d = 5$ 。第20项 $u_{20} = 5 + 19 \times 5 = 100$ 。

题2

求 $(x + \frac{2}{x ^{2}})^{12}$ 的常数项。解答：展开式通项为 $(r 12) x^{12 - r} (\frac{2}{x ^{2}})^{r} = (r 12) 2^{r} x^{12 - 3 r}$ ，令 $12 - 3 r = 0$ 得 $r = 4$ ，代入得常数项为 $(4 12) \times 2^{4} = 495 \times 16 = 7920$ 。

题3

设 $f (x) = ln (2 x + 1)$ （ $x > - \frac{1}{2}$ ）。用数学归纳法证明对所有正整数 $n$ ： $$ f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{,n-1},(n-1)!,2^{n}}{(2x+1)^{n}}. $$ 解答： ①基例 $n = 1$ 时， $f^{'} (x) = \frac{2}{2 x + 1}$ ；公式右边 $= \frac{( - 1 ) ^{0} \cdot 0 ! \cdot 2 ^{1}}{( 2 x + 1 ) ^{1}} = \frac{2}{2 x + 1}$ ，等式成立。 ②归纳假设：设 $n = k$ 时公式成立，即 $f^{(k)} (x) = (- 1)^{k - 1} (k - 1)! 2^{k} (2 x + 1)^{- k}$ 。 ③归纳步骤：对 $x$ 求导得 $f^{(k + 1)} (x)$ ： $$ \begin{align*} f^{(k+1)}(x) &= (-1)^{k-1}(k-1)!,2^k \cdot (-k)(2x+1)^{-k-1}\cdot 2 \ &= (-1)^{k},k!,2^{k+1}(2x+1)^{-(k+1)} \ &= \frac{(-1)^{(k+1)-1},((k+1)-1)!,2^{k+1}}{(2x+1)^{k+1}}. \end{align*} $$ 即 $n = k + 1$ 时公式成立。 ④结论：由数学归纳法，公式对所有正整数 $n$ 成立。

10. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

模块	核心公式与规则
数列	等差数列： $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d, S_{n} = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n})$ 等比数列：$u_n=u_1r^{n-1}, S_n=u_1\frac{1-r^n}{1-r}, S_\infty=\frac{u_1}{1-r}(
计数	$P (n, r) = \frac{n !}{( n - r )!}, C (n, r) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$ 二项式定理： $(a + b)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (r n) a^{n - r} b^{r}$
对数	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y, lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$ 换底公式： $lo g_{a} b = \frac{l n b}{l n a}$
复数	$z=a+bi=r\text{cis}\theta,
数学归纳法	基例→归纳假设→归纳步骤→结论
线性方程组	高斯消元法，增广矩阵行变换判断解的情况

11. 接下来怎么学

本模块是IB Math AA HL全课程的基础，后续你学习微积分板块的级数求和、复变函数应用，统计板块的概率分布计算，都会用到本模块的公式与推导逻辑，尤其是数学归纳法会多次出现在后续证明题中，一定要扎实掌握每一个考点。如果你在练题过程中遇到任何考点疑问、错题不会解，都可以随时到小欧提问，我们会为你提供针对性的解答与学习规划。

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