函数 (Functions) — IB Math AA HL AA HL 学习指南

适合谁：IB Math AA HL 参加 IB Math: Analysis & Approaches HL 的考生。

覆盖内容：定义域与值域、复合与反函数、四类初等函数、图像变换、不等式求解、多项式与因式定理六大核心考点。

前置知识：IGCSE / pre-DP 数学，熟悉证明与代数推导。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 IB Math AA HL 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 IBO 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 IBO 官方 mark scheme。

1. 什么是函数？

函数是两个实数集合之间的映射关系：对于定义域 (domain) 中的每一个输入值$x$，都有且仅有一个值域 (range) 中的输出值$y$与之对应，通常记为$f(x)$。 函数是IB AA HL考纲的核心基础模块，占总分值的15%-20%，经常与微积分、数列、复数映射等考点结合出现在paper1、paper2、paper3的各类题型中，既是送分点也是后续复杂知识点的前置要求。

2. 定义域、值域、复合函数与反函数

基础定义

• 定义域$D_f$：所有允许输入的$x$的取值集合，注意根号内非负、分母不为0、对数的真数大于0三个核心限制；
• 值域$R_f$：所有可能输出的$y$的取值集合，可通过单调性、极值、图像边界判断；
• 复合函数 (composite function)：记为$f\circ g(x)=f(g(x))$，即先计算内层$g(x)$的输出，再代入外层$f(x)$计算，定义域需要同时满足$x\in D_g$且$g(x)\in D_f$（这是paper1选择题的高频考点）；
• 反函数 (inverse function)：记为$f^{-1}(x)$，仅当$f$是一一对应（严格单调）时存在，满足$f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x$，图像与原函数关于直线$y=x$对称。

范例

已知$f(x)=\sqrt{x+1}$，$g(x)=\frac{1}{x-2}$，求$f(g(x))$的定义域：

1. 内层$g(x)$的定义域：$x\ne 2$；
2. 外层要求$g(x)\ge -1$，即$\frac{1}{x-2}\ge -1$，移项通分得$\frac{x-1}{x-2}\ge 0$，解得$x\le 1$或$x>2$；
3. 合并得定义域为$(-\infty ,1]\cup (2,+\infty )$。

3. 二次、有理、指数与对数函数

四类初等函数核心性质

1. 二次函数 (quadratic function)：标准形式$f(x)=a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$），顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$，判别式$\Delta =b^2-4ac$可判断根的个数；
2. 有理函数 (rational function)：两个多项式的比值$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$，垂直渐近线为$Q(x)=0$的解，水平渐近线由分子分母的最高次项次数比判断；
3. 指数函数 (exponential function)：$f(x)=a^x$（$a>0,a\ne 1$），恒过点$(0,1)$，值域为$(0,+\infty )$，当$a>1$时单调递增，$0<a<1$时单调递减；
4. 对数函数 (logarithmic function)：是指数函数的反函数，$f(x)={\log }_{a}x$，定义域为$(0,+\infty )$，恒过点$(1,0)$，单调性与对应指数函数一致。

4. 图像变换：反射、拉伸、平移

所有变换都可以通过对原函数$f(x)$的表达式变形得到，水平变换按括号内的运算顺序从内到外推导，垂直变换按括号外的运算顺序推导：

1. 平移 (translation)：$f(x-h)+k$表示原图像向右平移$h$个单位，向上平移$k$个单位（$h,k$为负时方向相反）；
2. 反射 (reflection)：$-f(x)$表示关于$x$轴反射，$f(-x)$表示关于$y$轴反射；
3. 拉伸 (stretch)：$af(x)$（$a>0$）表示垂直方向拉伸为原图像的$a$倍，$f(kx)$（$k>0$）表示水平方向压缩为原图像的$\frac{1}{k}$倍。

5. 图像法与代数法求解不等式

两种求解方法的适用场景

1. 代数法：适用于多项式、有理不等式，核心步骤是移项通分，找到所有临界点（分子为0、分母为0的点），用穿根法判断每个区间的符号，注意分母为0的点永远不包含在解集中，考官会专门检查这一步的步骤分；
2. 图像法：适用于跨类型函数的不等式（比如指数函数与二次函数比较大小），画出两个函数的图像，找到交点后根据上下位置关系直接写出解集，适合paper2允许使用计算器的场景。

范例

解不等式$\frac{x+3}{x-1}<2$：

1. 移项通分：$\frac{x+3}{x-1}-2<0⟹\frac{x+3-2x+2}{x-1}<0⟹\frac{-x+5}{x-1}<0⟹\frac{x-5}{x-1}>0$；
2. 临界点为$x=1$和$x=5$，穿根得解集为$(-\infty ,1)\cup (5,+\infty )$。

6. 多项式函数与因式定理

多项式函数 (polynomial function) 的标准形式为$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$，其中$n$为多项式的次数，$a_n$为首项系数。 因式定理 (factor theorem) 是多项式因式分解的核心工具：若$f(a)=0$，则$(x-a)$是$f(x)$的因式，反之若$(x-a)$是$f(x)$的因式，则$f(a)=0$。该考点经常出现在paper1的解答题中，占4-5分。

范例

已知$f(x)=2x^3+3x^2-11x-6$，且$x=2$是$f(x)=0$的一个根，分解$f(x)$：

1. 由因式定理得$(x-2)$是$f(x)$的因式；
2. 用多项式除法或待定系数法得$f(x)=(x-2)(2x^2+7x+3)$；
3. 继续分解二次式得$f(x)=(x-2)(2x+1)(x+3)$。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误做法：求复合函数定义域时只考虑外层函数的限制，忽略内层函数的定义域；原因：对复合函数的映射逻辑理解不清晰；正确做法：先求内层函数的定义域，再叠加内层输出落在外层定义域的限制。
2. 错误做法：默认所有函数都有全局反函数，比如直接写出$f(x)=x^2$的反函数为$\sqrt{x}$；原因：忘记反函数要求一一对应的前提；正确做法：先判断函数是否严格单调，必要时限定定义域后再求反函数。
3. 错误做法：解不等式时两边直接乘带$x$的表达式，忘记考虑符号是否需要变号；原因：混淆等式和不等式的运算规则；正确做法：所有不等式优先移项通分，不要乘未知正负的含$x$的式子。
4. 错误做法：水平变换的顺序搞反，比如把$f(2(x-1))$理解为先右移1再压缩为1/2；原因：没有掌握水平变换从内到外的运算逻辑；正确做法：水平变换先算伸缩再算平移，垂直变换先算伸缩再算平移。

8. 练习题 (IB AA HL 风格)

题1

已知$f(x)=2x+5$，$g(x)=x^2-3$，$x\in \mathbb{R}$： (a) 求$f\circ g(x)$的表达式和值域； (b) 若限定$x\ge 0$，求$g(x)$的反函数并写出定义域。

解答

(a) $f(g(x))=2(x^2-3)+5=2x^2-1$，因为$x^2\ge 0$，所以值域为$[-1,+\infty )$； (b) 令$y=x^2-3$，$x\ge 0$，则$x=\sqrt{y+3}$，反函数为$g^{-1}(x)=\sqrt{x+3}$，定义域为$[-3,+\infty )$。

题2

将$f(x)=\ln x$的图像先关于$x$轴反射，再水平压缩为原来的$\frac{1}{3}$，再向左平移2个单位，求最终的函数表达式。

解答

1. 关于$x$轴反射得$-f(x)=-\ln x$；
2. 水平压缩为1/3得$-f(3x)=-\ln (3x)$；
3. 左移2个单位得$-\ln (3(x+2))=-\ln (3x+6)$。

题3

已知多项式$f(x)=x^3-6x^2+3x+10$，且$x=5$是$f(x)=0$的根，求$f(x)\le 0$的解集。

解答

1. 由因式定理得$(x-5)$是$f(x)$的因式，分解得$f(x)=(x-5)(x^2-x-2)=(x-5)(x-2)(x+1)$；
2. 临界点为$x=-1,2,5$，穿根得解集为$(-\infty ,-1]\cup [2,5]$。

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

函数是IB AA HL整个考纲的基础，后续的微积分求导求积分、数列递推、统计分布函数、复数映射等章节都需要你熟练掌握函数的性质与运算，尤其是反函数、图像变换的知识会在paper3的拓展题中频繁结合其他考点出现，夯实这部分基础能帮你节省后续至少30%的备考时间。 如果你在刷题过程中遇到任何函数相关的错题，或者对某个考点还有疑问，都可以随时到小欧提问，我们会为你提供针对性的讲解和练习资源。