# 数据的图形表示

> 爱德思国际GCSE数学A · 4MA1（2016版考纲）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-a-s6-graphical-representation-of-data/

本指南覆盖爱德思IGCSE数学A 4MA1第6.1节要求的所有统计图表，包括基础层级的核心图表以及高阶层级的拓展内容：直方图与累积频率图。

**先修:** 分数、百分比与比例计算; 分组数据制表

## 学习目标

- 绘制并解读基础层级统计图表：象形图、条形图、饼图、双向表
- 计算频率密度，为不等组距的连续数据绘制直方图（仅高阶Tier要求）
- 为分组数据绘制并解读累积频率图（仅高阶Tier要求）
- 避免在计算角度、频率密度以及绘制累积频率点时出现常见考试错误

## 基础层级：核心统计图表

所有基础层级的学生都必须掌握四类核心图表的绘制与解读：象形图、条形图、饼图和双向表。所有图表绘制前都需要先对原始数据或分组数据进行基础制表。

**饼图** — 一种圆形图表，其扇形角度与每个类别的频率成正比，总角度为360°。

*例:* A category with frequency 10 out of total 50 has a sector angle of (10/50) × 360 = 72°.

**例题:** 表格展示了60名11年级学生最喜爱的运动：足球25人，无挡板篮球15人，网球10人，其他10人。计算每个类别的扇形角度以绘制饼图。

1. 计算总频率=60，因此1单位频率对应的角度为360÷60=6°/人。
2. 足球对应角度：25×6=150°
3. 无挡板篮球对应角度：15×6=90°
4. 网球对应角度：10×6=60°
5. 其他类别对应角度：10×6=60°
6. 校验总和：150+90+60+60=360°，因此所有数值正确。

> **tip**
>
> 对于双向表，在使用数据绘制图表前，务必检查行总和与列总和是否与整体总频率一致，避免出现计算错误。

*计算器:* allowed

## 高阶层级：不等组距直方图

高阶层级学生必须掌握不等组距连续数据的直方图绘制与解读。与条形图不同，直方图的柱高代表频率密度，柱的面积代表频率。

**频率密度** — 单位组距对应的频率度量，用于不等组距直方图，其中f为区间频率，w为组距宽度。

*记法:* FD = \frac{f}{w}

**例题:** 分组数据展示了满分100的测试分数：0-20：f=8，20-40：f=12，40-65：f=15，65-100：f=10。计算每个区间的频率密度以绘制直方图。

1. 计算组距宽度：0-20为20，20-40为20，40-65为25，65-100为35。
2. $$FD_{0-20} = \frac{8}{20} = 0.4$$
3. $$FD_{20-40} = \frac{12}{20} = 0.6$$
4. $$FD_{40-65} = \frac{15}{25} = 0.6$$
5. $$FD_{65-100} = \frac{10}{35} \approx 0.29$$

> **warning**
>
> 直方图的y轴务必标注为「频率密度」，而非「频率」——这是高阶层级考试中常见的丢1分的易错点。

*计算器:* allowed

## 高阶层级：累积频率图

累积频率（CF）图展示了累计到每个区间上组界的频率总和，可用于估算有多少个数据点小于某一给定值。

**累积频率** — 累计到当前区间（包含当前区间）的所有区间的频率之和，对应区间的上组界进行绘制。

**例题:** 沿用上述测试分数数据：0-20：f=8，20-40：f=12，40-65：f=15，65-100：f=10。计算累积频率并写出用于绘制累积频率图的坐标点。

1. 列出每个区间的上组界：20、40、65、100。
2. 20处的累积频率=8
3. 40处的累积频率（CF）= 8 + 12 = 20
4. 65处的累积频率（CF）= 20 + 15 = 35
5. 100处的累积频率（CF）= 35 + 10 = 45
6. 待绘制的坐标点：(20, 8)、(40, 20)、(65, 35)、(100, 45)

> **note**
>
> 使用直线段或平滑曲线连接已绘制的点，不要使用折线，即可在图表作图部分获得满分。

*计算器:* allowed

## 考试题型中的统计图表解读

所有考生都需要解读统计图表以回答情境类问题，例如从饼图中计算某一类别对应的人数，或通过直方图的面积估算频数。

**例题:** 饼图中“乘坐公交上学”对应的扇形圆心角为120°，受访学生总人数为180人，请问乘坐公交上学的学生有多少人？

1. 乘坐公交的学生占比 = 120 ÷ 360 = 1/3
2. 学生人数 = 180 × (1/3) = 60

**考试命令词**

- **Construct** — You must draw the diagram fully, with labels, scales and units where required. *(Construct a pie chart for the given data means draw all sectors, label each, and include a title.)*

- **Interpret** — Use the diagram to calculate a value or make a conclusion relevant to the context. *(Interpret the histogram to find the number of people aged over 50 means calculate the total area of bars for intervals above 50.)*

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** Drawing gaps between bars on a histogram
  - 原因: Histograms represent continuous data, gaps imply discrete categories, leading to lost marks.
  - 正确做法: Leave no gaps between bars on histograms, only on bar charts for discrete data.
- **错误做法:** Plotting cumulative frequency at midpoint of class intervals
  - 原因: Cumulative frequency counts all values up to the upper boundary, midpoint plotting leads to incorrect estimates.
  - 正确做法: Always plot CF against the upper class boundary of each interval.
- **错误做法:** Using frequency instead of frequency density for histogram y-axis
  - 原因: For unequal class intervals, frequency height misrepresents the actual count, as area is the measure of frequency.
  - 正确做法: Label histogram y-axis as Frequency Density, calculate FD = frequency ÷ class width.
- **错误做法:** Calculating pie chart angles as (frequency × 180) instead of 360
  - 原因: Total angle of a circle is 360°, using 180 gives incorrect sector sizes.
  - 正确做法: Sector angle = (frequency / total frequency) × 360, always check total angles add up to 360°.
- **错误做法:** Forgetting to include a key/legend for pictograms or multi-category bar charts
  - 原因: Unlabelled diagrams are impossible to interpret, leading to lost method marks.
  - 正确做法: Add a clear key, labels for both axes, and a title for all diagrams you draw.

## 速查表

| Diagram Type | Tier | Key Rule | Formula (if applicable) |
| --- | --- | --- | --- |
| Pictogram | Foundation | Use consistent symbol scale, add key | None |
| Bar Chart | Foundation | Label axes, gaps between bars for discrete data | None |
| Pie Chart | Foundation | Sector angles sum to 360° | Angle = (f ÷ total f) × 360° |
| Two-way Table | Foundation | Row/column totals match overall total | None |
| Histogram (unequal intervals) | Higher | Area of bar = frequency, no gaps between bars | Frequency Density = f ÷ class width |
| Cumulative Frequency Diagram | Higher | Plot at upper class boundary | CF = running total of frequencies |

## 下一步

Now that you have mastered graphical representation of data, you can move on to analysing data using measures of central tendency and spread, covered in the next section of the Edexcel IGCSE Maths A statistics syllabus. You will use the diagrams you learned to draw here to support interpretation of numerical statistics, and apply these skills to context-based exam questions that combine both diagram construction and data analysis. This topic appears on almost every exam paper, carrying between 3 and 8 marks per question, so regular practice of past paper questions is highly recommended.

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