# 几何作图（Edexcel IGCSE 数学 A）

> Edexcel 国际 GCSE 数学 A · 4MA1 2016
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-a-s4-construction/

本指南涵盖 Edexcel IGCSE 数学 A（4MA1）要求的全部几何作图技能，包括线段测量、二维图形绘制、比例图和标准直尺圆规平分线作图，所有内容均配有贴合考试要求的分步示例。

**先修:** [掌握基础二维图形的性质（三角形、角、平行线）](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-a-s4-basic-2d-shapes/); 熟悉直尺、量角器和圆规的使用方法

## 学习目标

- 精确测量并绘制直线，精度达到最接近的1毫米
- 使用直尺、量角器和圆规绘制包括三角形在内的二维图形
- 绘制并解读比例图，解决几何相关问题
- 正确使用直尺和圆规完成垂直平分线和角平分线的作图，保留所有作图弧线

## 测量线段与绘制基础二维图形

测量和绘制线段的精度是所有作图任务的基础。你必须使用削尖的铅笔和刚性直尺，确保线条笔直，测量结果精确到最接近的1毫米（mm）。

**例题:** 绘制一条长度为7.6厘米的线段。

1. 将直尺平放在纸上，确保直尺与你想要绘制的线段方向对齐。
2. 在直尺的0厘米刻度处标记一个小点，在7.6厘米（76毫米）刻度处标记第二个小点。
3. 牢牢固定直尺，绘制一条连接两个小点的直线。

> **tip**
>
> 作图时务必使用削尖的铅笔：钝铅笔会画出粗而不准确的线条，导致你丢失精度分数。

**例题:** 绘制三角形ABC，其中AB=5厘米，点A处的角为55°，AC=4.2厘米。

1. 使用直尺绘制基线AB，精确测量长度为5厘米。
2. 将量角器的中心放在点A处，将0°刻度与线段AB对齐，然后在55°位置标记一个小点。
3. 从点A出发，绘制一条穿过55°标记点的直线。
4. 从点A出发，沿着这条新直线测量4.2厘米，将该点标记为C。
5. 绘制一条连接点B和点C的直线，完成三角形绘制。

> **考试提示:** 当你需要根据边角边（SAS）信息绘制三角形时，务必先测量角度，再标记第二条边的长度，避免出现对齐误差。

*计算器:* allowed

## 比例图

比例图是图形的比例化表示，用于解决涉及现实世界距离或无法按实际尺寸绘制的大型图形的问题。考试中会给出比例（例如1厘米=2米），或者要求你为自己的图标注合适的比例。

**绘图比例系数** — 比例图上的长度与对应实际长度的比值，图上所有尺寸均统一使用该比值。

*例:* 比例1厘米=5米表示图上每1厘米对应现实中的5米。

**例题:** 一个长方形花园长12米，宽8米。使用1厘米=2米的比例绘制该花园的比例图。

1. 使用给定比例将实际尺寸转换为图上尺寸：12米÷2=6厘米（图上长度），8米÷2=4厘米（图上宽度）。
2. 使用直尺绘制长6厘米、宽4厘米的长方形，确保所有角都是直角（必要时可以用量角器检查）。
3. 在图的底部清晰标注所用比例：'比例：1厘米=2米'。

> **warning**
>
> 图上的所有尺寸都必须使用相同的比例。长度和宽度使用不同的比例会导致图形不准确，造成失分。

> **考试提示:** 如果要求你从比例图中测量距离以得到实际值，请先将图上长度精确到最接近的1毫米，再乘以比例系数得到实际值。

*计算器:* allowed

## 直尺圆规作图：垂直平分线

垂直平分线将线段精确平分为两部分，且与线段呈90°夹角。你必须仅使用无刻度直尺和圆规来绘制它，保留所有作图弧线。

**例题:** 绘制长度为7厘米的线段PQ的垂直平分线。

1. 使用直尺绘制长度为7厘米的线段PQ。
2. 将圆规张开到大于PQ长度一半的半径（对于7厘米的线段，约4厘米比较合适）。
3. 将圆规尖放在点P处，绘制两条弧线：一条在线段PQ上方，一条在线段PQ下方。
4. 保持圆规半径不变，将圆规尖放在点Q处，在线段上下方再绘制两条弧线，与之前绘制的两条弧线相交。
5. 使用直尺绘制一条连接两个弧线交点的直线，这条线就是PQ的垂直平分线。

> **tip**
>
> 在从点P和点Q绘制弧线的过程中，绝对不要调整圆规的半径：半径不相等会导致绘制出错误的平分线。

> **考试提示:** 请双重检查你绘制的垂直平分线是否正确：它必须恰好穿过线段的中点，如果时间充裕，你可以用量角器测量两条线之间的夹角，确认其为90°。

*计算器:* allowed

## 直尺圆规作图：角平分线

角平分线将一个角平分为两个相等的小角。与垂直平分线一样，你必须仅使用直尺和圆规来绘制它，保留所有作图弧线。

**例题:** 绘制70°角XYZ的角平分线。

1. 使用量角器和直尺绘制70°的角XYZ，Y为顶点。
2. 将圆规尖放在顶点Y处，绘制一条弧线，与角的两条边YX和YZ分别相交于两点，将这两个点标记为A（在YX上）和B（在YZ上）。
3. 将圆规张开到约2厘米的半径，将圆规尖放在点A处，在角的内部绘制一条弧线。
4. 保持圆规半径不变，将圆规尖放在点B处，在角的内部绘制第二条弧线，与第一条弧线相交，将该交点标记为C。
5. 从点Y出发绘制一条穿过点C的直线，这条线就是角XYZ的角平分线。

> **warning**
>
> 所有作图弧线都必须清晰保留在试卷上。即使你最终绘制的线条完全准确，擦除弧线也会被视为你没有使用正确的直尺圆规方法。

> **考试提示:** 你可以用量角器测量得到的两个小角，验证角平分线是否正确：两个角的大小应该相等（例如原角为70°时，两个小角各为35°）。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 绘制完最终的平分线后擦除所有作图弧线。
  - 原因: Edexcel 阅卷考官要求保留作图弧线，作为你使用正确直尺圆规方法而非仅用量角器估算线条的证据。
  - 正确做法: 即使你觉得弧线看起来不整洁，也要让所有作图弧线清晰可见地保留在试卷上。
- **错误做法:** 绘制垂直平分线时，从线段两个端点绘制弧线的过程中调整圆规半径。
  - 原因: 半径不相等意味着弧线不会在与两个端点距离相等的位置相交，最终得到错误的平分线。
  - 正确做法: 圆规半径一旦设置好就固定不动，绘制垂直平分线的所有弧线都使用相同的半径。
- **错误做法:** 将线段测量精度取到最接近的厘米，而非最接近的毫米。
  - 原因: 教学大纲要求精度达到最接近的1毫米，四舍五入到整厘米会导致你的图形不准确，造成失分。
  - 正确做法: 数直尺上的毫米小刻度，将长度测量到厘米的小数点后一位（例如6.3厘米，而非6厘米）。
- **错误做法:** 绘制比例图时，不同尺寸使用不同的比例系数。
  - 原因: 这会导致图形比例失调，从图上测量得到的任何结果都会出错。
  - 正确做法: 图上的所有长度都统一使用相同的比例，并在图旁清晰标注所用比例。
- **错误做法:** 当题目明确要求'仅使用直尺和圆规'时，用量角器绘制平分线。
  - 原因: 指定该方法的题目明确要求你使用标准圆规作图法，而不是用量角器估算。
  - 正确做法: 当题目要求仅使用直尺和圆规时，遵循标准弧线法绘制平分线，并保留所有弧线。

## 速查表

| 任务 | 所需工具 | 核心步骤 |
| --- | --- | --- |
| 将线段测量/绘制到最接近的1毫米 | 直尺、削尖的铅笔 | 将直尺与线段方向对齐，在精确的毫米刻度处标记点，用直线连接两点。 |
| 绘制SAS三角形 | 直尺、量角器、圆规、铅笔 | 绘制底边，用量角器测量夹角，标记第二条边的长度，连接最后一条边。 |
| 绘制比例图 | 直尺、铅笔、计算器（可选） | 使用给定比例将实际长度转换为图上长度，绘制比例化图形，清晰标注比例。 |
| 绘制线段的垂直平分线 | 直尺、圆规、铅笔 | 将圆规设置为大于线段一半的长度，从线段两端点在线段上下方绘制等半径弧线，连接弧线交点。 |
| 绘制角平分线 | 直尺、圆规、铅笔 | 从顶点绘制弧线，与角的两条边相交，从两个交点在角内部绘制等半径弧线，连接顶点与弧线交点。 |

## 下一步

现在你已经掌握了 Edexcel IGCSE 数学 A 的核心几何作图技能，可以将这些技能应用到更高级的几何问题中，包括全等三角形、面积计算，以及在基础卷和提高卷中频繁出现的实际应用类几何题。作图题每题通常占2-4分，定期练习这些技能可以帮助你轻松拿到很多学生因为精度不足或擦除作图弧线而丢失的分数。请务必使用真题风格的题目进行练习，适应计时条件下要求的精度水平。

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