图像：数列、函数与图像

Q: 如何通过两点坐标计算直线的斜率？

使用公式，其中和为两个点的坐标。从左向右上升的直线斜率为正，从左向右下降的直线斜率为负。

Q: 互相垂直的直线的斜率满足什么规律？

如果两条直线互相垂直，它们的斜率乘积等于-1。若某条直线的斜率为，则其垂线的斜率为。作为特例，水平线和竖直线始终互相垂直。

Q: 如何利用图像法解方程？

要解方程，只需绘制和的图像，它们交点的x坐标值就是方程的解，对应方程的根。

爱德思国际普通中等教育证书数学A· 3.3· 25 分钟阅读

1. 笛卡尔坐标与中点★☆☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

笛卡尔坐标

一种利用两条互相垂直的轴（水平x轴和竖直y轴）在平面上定位点的系统。点的坐标表示为 $(x, y)$ ，其中x代表水平位置，y代表竖直位置。

📐 例题

求连接点 $A (2, 5)$ 和点 $B (- 4, 1)$ 的线段的中点。

1
回忆中点公式：
$\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
2
代入x坐标值，计算中点的x坐标：
$\frac{2 + (-4)}{2} = -1$
3
代入y坐标值，计算中点的y坐标：
$\frac{5 + 1}{2} = 3$
4
线段AB的中点为 $(- 1, 3)$

✓ 快速检测

What are the coordinates of the point 3 units left and 2 units up from $(1, - 2)$ ?
- A) $(- 2, 0)$
- B) $(4, - 4)$
- C) $(- 2, - 4)$
- D) $(4, 0)$
显示答案
A) $(-2, 0)$ —
Moving left reduces the x value by 3 ( $1 - 3 = - 2$ ), moving up increases the y value by 2 ( $- 2 + 2 = 0$ ).

Exam tip:

始终先确定x坐标，再确定y坐标：可以记住字母表中x排在y前面，避免混淆两个坐标的取值。

2. 直线图像与斜率★★☆☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

斜率

表示直线的倾斜程度，计算方式为直线上两点间y的变化量（竖直增量）除以x的变化量（水平增量），用符号 $m$ 表示。

📐 例题

求过点 $(0, 3)$ 且斜率为2的直线方程，并将其改写为 $a x + b y = c$ 的形式。

1
回忆直线方程 $y = m x + c$ ，其中 $c$ 是y轴截距（当 $x = 0$ 时， $y = 3$ ，因此 $c = 3$ ，且 $m = 2$ ）
2
将方程写为斜截式：
$y = 2x + 3$
3
将所有项移到同一侧，整理为标准形式：
$2x - y = -3$

📐 例题

求与直线 $y = 2 x + 3$ 垂直且经过点 $(4, 1)$ 的直线方程。

1
已知直线的斜率为2，因此垂直直线的斜率为其负倒数： $m = - \frac{1}{2}$
2
将 $m = - 0.5$ 、 $x = 4$ 和 $y = 1$ 代入 $y = m x + c$ 求解 $c$ ：
$1 = (-0.5 \times 4) + c \implies 1 = -2 + c \implies c = 3$
3
该垂直直线的方程为 $y = - 0.5 x + 3$

Exam tip:

对于以 $a x + b y = c$ 形式给出的直线，将其整理为 $y = m x + c$ 的形式即可快速得到斜率和y轴截距，无需通过两点坐标计算。

3. 解读标准实际场景图像★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

Distance-time graphs: Gradient = speed, flat sections = stationary
Speed-time graphs: Gradient = acceleration, area under line = total distance travelled
Conversion graphs: Used to convert between two units (e.g. currency, km to miles) by reading values off the straight line

📐 例题

某距离-时间图像显示一辆汽车2小时行驶80千米，停留1小时后用2.5小时返回了80千米。计算全程（不含停留时间）的平均速度。

1
计算总行驶路程： $80 + 80 = 160$ 千米
2
计算总行驶时间： $2 + 2.5 = 4.5$ 小时
3
平均速度 = 总路程 / 总行驶时间：
$\frac{160}{4.5} \approx 35.6 \text{ km/h}$

Exam tip:

务必检查实际场景图像坐标轴上的单位，避免计算过程中出现单位换算错误。

4. 非线性图像★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

📐 例题

完成 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 在x取值范围为-1到4时的对应值表格，随后描述该图像的形状。

1
将每个x值代入方程求出对应的y值： $x = - 1 ⟹ y = 0$ ， $x = 0 ⟹ y = - 3$ ， $x = 1 ⟹ y = - 4$ ， $x = 2 ⟹ y = - 3$ ， $x = 3 ⟹ y = 0$ ， $x = 4 ⟹ y = 5$
2
该图像是一条对称的U形曲线，称为抛物线，其极小值拐点位于 $(1, - 4)$

📐 例题

使用切线法求曲线 $y = x^{2}$ 在 $x = 2$ 处的斜率。

1
绘制一条仅在点 $(2, 4)$ 处与曲线相切的直线，该点两侧的切线长度应大致相等。
2
在切线上选取两个便于读数的点，例如 $(1, 0)$ 和 $(3, 8)$
3
计算切线的斜率：
$\frac{8 - 0}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$
4
该曲线在 $x = 2$ 处的斜率为4

Exam tip:

绘制非线性图像时，务必穿过所有点绘制光滑连续的曲线：对于二次、三次或反比例图像，绝对不要在点之间绘制直线段。

5. 函数变换与图像解法★★★★☆HL 专属⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

函数变换

对函数 $f (x)$ 的图像进行的平移、拉伸或翻转操作，操作后图像的核心形状不会改变。本次考试仅要求掌握四种变换。

📐 例题

将 $f (x) = x^{2}$ 的图像进行变换得到 $g (x) = (x - 3)^{2} + 2$ ，描述完整的变换过程。

1
$f (x + a)$ 将图像向左平移 $a$ 个单位，因此 $f (x - 3)$ 是向右平移3个单位
2
$f (x) + a$ 将图像向上平移 $a$ 个单位，因此加2是向上平移2个单位
3
完整的变换是按向量 $(32)$ 进行平移

📐 例题

利用 $y = x^{2}$ 和 $y = x + 2$ 的图像求解方程 $x^{2} - x - 2 = 0$ 。

1
整理目标方程使其与给出的图像形式匹配： $x^{2} - x - 2 = 0 ⟹ x^{2} = x + 2$
2
方程的解是两个图像交点的x坐标值，即 $x = - 1$ 和 $x = 2$

Exam tip:

描述变换时，务必测试关键点（例如拐点、截距）以确认平移方向正确： $f (x + a)$ 是向左平移，而非向右。

6. 常见陷阱

错误做法:

Plotting $(y, x)$ instead of $(x, y)$ for coordinates

原因:

Confusing the order of x and y values

正确做法:

Remember x comes before y in the alphabet, so always plot the horizontal position first, then the vertical position.

错误做法:

Calculating gradient as $\frac{Δ x}{Δ y}$ instead of $\frac{Δ y}{Δ x}$

原因:

Mixing up numerator and denominator in the gradient formula

正确做法:

Use the mnemonic 'rise over run': rise is vertical (y) change, run is horizontal (x) change, so gradient = rise / run.

错误做法:

Assuming $f (x + a)$ shifts the graph to the right

原因:

Associating positive a values with rightward movement

正确做法:

$f (x + a)$ shifts the graph left by a units, $f (x - a)$ shifts right by a units: test with the x=0 position of key points to confirm.

错误做法:

Drawing straight line segments between points on non-linear graphs

原因:

Rushing plotting without checking the function shape

正确做法:

For quadratic, cubic or reciprocal graphs, draw a smooth, continuous curve through all plotted points with no sharp corners.

错误做法:

Using only the negative of a gradient for perpendicular lines instead of the negative reciprocal

原因:

Simplifying the perpendicular gradient rule incorrectly

正确做法:

If the original gradient is m, the perpendicular gradient is $- \frac{1}{m}$ : multiply the two gradients to confirm they equal -1 before proceeding.

7. 速查表

Concept	Foundation Tier	Higher Tier (Addition)
Coordinates	Plot $(x, y)$ in 4 quadrants, midpoint formula $(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$	Same as Foundation
Straight Lines	Gradient = $\frac{Δ y}{Δ x}$ , equation $y = m x + c$ , rearrange to $a x + b y = c$	Parallel lines: same $m$ , perpendicular lines: $m_{1} \times m_{2} = - 1$
Graph Types	Linear, quadratic, distance/time, speed/time, conversion graphs	Cubic, reciprocal, $y = sin x$ , $y = cos x$ , $y = tan x$ (degrees only)
Gradients	Calculate straight line gradients only	Find non-linear gradients by drawing a tangent to the curve
Transformations	Not required	Four transformations: $f (x) + a$ (shift up/down), $f (x + a)$ (shift left/right), $a f (x)$ (vertical stretch), $f (a x)$ (horizontal stretch)
Graphical Solutions	Not required	Intersection of $y_{1}$ and $y_{2}$ gives solutions to $y_{2} - y_{1} = 0$

8. 常见问题

如何通过两点坐标计算直线的斜率？

使用公式 $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ ，其中 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 为两个点的坐标。从左向右上升的直线斜率为正，从左向右下降的直线斜率为负。

互相垂直的直线的斜率满足什么规律？

如果两条直线互相垂直，它们的斜率乘积等于-1。若某条直线的斜率为 $m$ ，则其垂线的斜率为 $- \frac{1}{m}$ 。作为特例，水平线和竖直线始终互相垂直。

如何利用图像法解方程？

要解方程 $f (x) = m x + c$ ，只需绘制 $y = f (x)$ 和 $y = m x + c$ 的图像，它们交点的x坐标值就是方程的解，对应方程 $f (x) - m x - c = 0$ 的根。

深入阅读

下一步

Now that you have mastered graph content for Edexcel IGCSE Math A, you can move on to Higher tier calculus, where you will learn to calculate non-linear gradients algebraically using differentiation. You should also practice applying graph skills to real-world problem solving questions, which frequently combine graph interpretation with algebra and arithmetic in both Foundation and Higher papers. Make sure to practice past paper graph questions to familiarise yourself with marking criteria, especially for plotting questions where correct axis labels and smooth curves are required for full marks.