函数符号
爱德思国际普通中等教育证书数学A· 3.2· 12 分钟阅读
1. 函数定义与核心符号★★☆☆☆Higher 专属⏱ 3 min
✓ 计算器
函数
将一个集合中的每一个输入值映射到第二个集合中唯一对应输出值的规则。
例:
f(x) = 2x + 3 maps each input x to an output equal to twice x plus 3.
考试中你会遇到两种标准函数符号：常用的f(x)格式，以及映射格式 f : x ↦ ...。二者描述的是同一个函数规则，考题可能要求你在两种格式之间转换，或任选其一完成计算。
已知函数f的定义为 f : x ↦ 5x - 7，请使用f(x)符号写出该函数，并计算f(4)的值。
- 1
步骤1：将映射符号中的↦替换为f(x)后的等号，把映射格式转换为f(x)格式
- 2
- 3
步骤2：将x=4代入函数规则，计算得到f(4)的值
- 4
Exam tip:
作答前请务必确认题目要求使用的符号形式，只有正确使用题目指定的f(x)格式或映射格式才能获得对应分数。
2. 函数的定义域与值域★★★☆☆Higher 专属⏱ 3 min
✓ 计算器
定义域与值域
定义域 = 函数所有有效输入值（x）构成的集合。值域 = 函数所有输出结果值（f(x)）构成的集合。
例:
For f(x) = 1/(x - 2), x = 2 is excluded from the domain because dividing by zero is undefined.
定义域中需要排除取值的最常见原因是该取值会使分母为零，数学中除以零是无定义的。你也可能遇到需要排除使根号内出现负数的取值的情况，不过这类情况在爱德思IGCSE的本小节知识点中较为少见。
写出函数 g(x) = 4/(3x + 9) 定义域中需要排除的取值，并描述函数 h(x) = x² + 2 的值域。
- 1
步骤1：求解使g(x)分母等于零的x值
- 2
- 3
步骤2：g(x)定义域需要排除的取值为x = -3
- 4
步骤3：对于h(x) = x² + 2，所有实数x对应的x²都恒大于等于0，因此x² + 2 ≥ 2
- 5
步骤4：h(x)的值域为所有大于等于2的实数，记作h(x) ≥ 2
3. 复合函数★★★★☆Higher 专属⏱ 3 min
✓ 计算器
复合函数fg
先运算函数g，再将得到的结果代入函数f得到的函数，满足fg(x) = f(g(x))。
例:
If f(x) = x + 1 and g(x) = 2x, then fg(x) = f(2x) = 2x + 1.
对于爱德思IGCSE考试，复合函数的运算顺序至关重要：fg运算始终先作用g，再作用f，这与字母的书写顺序相反。不遵循该顺序是本考点考题中最常见的错误之一。
已知，，计算fg(2)并写出fg(x)的最简形式表达式。
- 1
步骤1：首先计算g(2)，得到f的输入值。
- 2
- 3
步骤2：将g(2) = 3代入f(x)中。
- 4
- 5
步骤3：求解通用形式的fg(x)时，将f(x)中所有的x替换为g(x)。
- 6
4. 反函数★★★★☆Higher 专属⏱ 3 min
✓ 计算器
反函数$f^{-1}(x)$
可以还原原函数f运算过程的函数。若f(x)将输入值x映射为输出值y，则可将y映射回x。
例:
If f(x) = 2x, then f⁻¹(x) = x/2, as dividing by 2 reverses the action of multiplying by 2.
爱德思考纲指定的反函数求解方法是固定的：先写出y = f(x)，交换等式中的x和y，再将等式变形为以y作为主项的形式，最终得到的y就是反函数。
求函数f(x) = (4x + 1)/3的反函数。
- 1
步骤1：将函数写为y = f(x)的形式。
- 2
- 3
步骤2：交换等式中的x和y。
- 4
- 5
步骤3：整理等式，将y作为主项。
- 6
- 7
步骤4：将y替换为。
- 8
5. 常见陷阱
错误做法:
Applying f first then g when calculating fg(x)
原因:
The Edexcel spec defines fg(x) as f(g(x)), so g is the first operation applied, not f.
正确做法:
Always substitute the inner function (the one written second) into the outer function first.
错误做法:
Forgetting to exclude x values that make denominators zero from the domain
原因:
Division by zero is undefined, so these values are not valid inputs for the function.
正确做法:
Set any denominator equal to zero and solve for x to find excluded domain values.
错误做法:
Rearranging first then swapping x and y when calculating inverse functions
原因:
This will produce an incorrect inverse that does not reverse the action of the original function.
正确做法:
Follow the spec method strictly: write y = f(x), swap x and y, then rearrange for y.
错误做法:
Confusing f⁻¹(x) with 1/f(x)
原因:
The superscript -1 in inverse function notation is not an exponent, it indicates the reverse function.
正确做法:
Recognize that f⁻¹(x) always refers to the inverse function, not the reciprocal of f(x).
错误做法:
Writing the range as x ≥ k instead of f(x) ≥ k or y ≥ k
原因:
The range describes output values of the function, not input x values.
正确做法:
Always label range values with the function name or y, e.g. f(x) ≥ 2.
6. 速查表
Concept | Rule/Notation | Exam Reminder |
|---|---|---|
Function notation | f(x) = ..., f:x ↦ ... | Both notations are equivalent, use whichever is requested |
Domain | Set of valid input x values | Exclude x that make denominators zero |
Range | Set of output f(x) values | Label range with f(x) or y, not x |
Composite function fg | fg(x) = f(g(x)) | Apply g first, then f; order matters |
Inverse function f⁻¹(x) |
| f⁻¹(x) ≠ 1/f(x); check by testing f(f⁻¹(x)) = x |
7. 常见问题
计算复合函数fg时，运算顺序是怎样的？
fg(x) 代表先运算 g(x)，再将得到的结果代入 f(x) 进行运算。这是爱德思IGCSE数学考试规定的约定，颠倒顺序会被扣分。
考试中求解函数反函数的方法是什么？
按照大纲要求的3个步骤操作：1. 写出 y = f(x) 2. 将等式中的x和y互换 3. 整理等式，将y单独放在等号左侧，得到的结果就是 f⁻¹(x)。
函数定义域中需要排除哪些取值？
需要排除所有使分母为零的x值（除以零是无定义的），以及使根号内出现负数的x值，不过在本小节知识点中根号相关的情况较为少见。
f⁻¹(x) 和 1/f(x) 是一样的吗？
不一样。反函数符号中的上标 -1 不是指数，它仅代表逆转f(x)运算过程的函数，而不是f(x)的倒数。
下一步
Now you have mastered function notation for Edexcel IGCSE Higher Maths, you can move on to related higher-tier topics that build on this foundation. Next, you will learn to apply function rules to transform graphs of linear, quadratic, and trigonometric functions, a key part of the Sequences, Functions and Graphs unit. You will also use function notation in later topics including algebraic manipulation and calculus foundations for your higher-tier exam. Practicing mixed function questions that combine composite, inverse, and domain skills will help you prepare for the longer 4-6 mark questions that often appear on Paper 2H and 4H. Make sure you can apply all rules without a calculator as well, as some questions may appear on non-calculator papers even if the sub-topic allows calculators.