联立线性方程

Edexcel 国际GCSE 数学 A· 2.6 (2016 考纲)· 12 分钟阅读

1. 联立线性方程入门★★☆☆☆⏱ 2 min

📘 定义

联立线性方程

包含两个未知变量（例如x和y），且对同一组未知数值均成立的两个线性方程。

例:

x + y = 10, 2x - 3y = 5

本主题的所有问题都恰好包含两个线性方程（不含二次、三次或其他非线性项）和两个未知变量。解是能同时使两个方程都成立的唯一一组数值。

2. 用消元法求解★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

📘 定义

消元法

通过将两个方程乘以系数后相加或相减，消去一个未知变量，得到一个单变量线性方程进行求解的方法。

如有必要，将一个或两个方程乘以常数，使得两个方程中某一变量的系数绝对值相等
如果系数符号相反则将方程相加，符号相同则相减，消去该变量
求解得到的单变量线性方程
将得到的答案代回任意一个原方程，求出第二个未知数
在另一个原方程中检验你的解

📐 例题

求解联立方程： $2 a + 5 b = 12$ , $3 a + b = 5$

1
首先，将第二个方程乘以5，匹配第一个方程中b的系数，消去b：
2
$5 \times (3a + b = 5) \implies 15a + 5b = 25$
3
用新得到的方程减去第一个原方程，消去b：
4
$(15a + 5b) - (2a + 5b) = 25 - 12 \implies 13a = 13$
5
求解a：
6
$a = 1$
7
将 $a = 1$ 代回第二个原方程 $3 a + b = 5$ ：
8
$3(1) + b = 5 \implies b = 2$
9
将 $a = 1, b = 2$ 代回第一个原方程检验： $2 (1) + 5 (2) = 12$ ，与右侧相等。解为 $a = 1, b = 2$ 。

Exam tip:

求解时给方程标注编号（例如方程1、方程2），避免在缩放或相减时混淆。最终答案务必明确写出两个未知数的取值。

3. 用代入法求解★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

📘 定义

代入法

整理其中一个方程，将一个未知数用另一个未知数表示，再将该表达式代入第二个方程，得到一个单变量线性方程进行求解的方法。

当其中一个方程的某一变量系数已经为1或-1时，该方法尤其高效，整理过程非常简便。

📐 例题

求解联立方程： $x + y = 14$ , $x - y = 2$

1
整理第一个方程，将x作为因变量：
2
$x = 14 - y$
3
将x的这个表达式代入第二个方程：
4
$(14 - y) - y = 2 \implies 14 - 2y = 2$
5
求解y：
6
$-2y = -12 \implies y = 6$
7
将 $y = 6$ 代回 $x = 14 - y$ ：
8
$x = 14 - 6 = 8$
9
将 $x = 8, y = 6$ 代回第二个原方程检验： $8 - 6 = 2$ ，结果正确。解为 $x = 8, y = 6$ 。

4. 高阶层级：图像解读★★★★☆Higher 专属⏱ 2 min

✓ 计算器

对于高阶考生，你需要将联立线性方程和直线图像关联起来。x和y的每一个线性方程在坐标网格上绘制时都对应一条直线。

📘 定义

作为交点的解

同时满足两个联立线性方程的一组数值，就是图像上代表两个方程的直线相交处的(x,y)坐标。

📐 例题

方程 $y = x + 1$ 和 $y = 3 x - 1$ 绘制在坐标网格上。求这组联立方程的解。

1
在交点处，两条直线的y值相等，因此将两个y的表达式设为相等：
2
$x + 1 = 3x - 1$
3
求解x：
4
$2 = 2x \implies x = 1$
5
将 $x = 1$ 代入 $y = x + 1$ 得到 $y = 2$ 。
6
两条直线相交于(1,2)，因此解为 $x = 1, y = 2$ 。

Exam tip:

如果题目要求你使用图像求解，你不需要进行代数运算：只需仔细读出交点的(x,y)坐标即可。

5. 常见陷阱

错误做法:

消元缩放时忘记将方程的每一项都乘系数，例如将 $3 a + b = 5$ 乘以5得到 $15 a + b = 25$

原因:

你只缩放了方程的一部分，导致新方程不再与原方程等价，得到错误的解

正确做法:

将方程两边的每一项都乘以缩放常数，因此 $3 a + b = 5$ 变为 $15 a + 5 b = 25$

错误做法:

消元加减方程时混淆符号，例如用 $15 a + 5 b = 25$ 减去 $2 a + 5 b = 12$ 得到 $13 a + 10 b = 13$

原因:

你错误合并了要消去的变量的系数，得到错误的单变量方程

正确做法:

如果系数符号相同，将一个完整方程减去另一个；如果符号相反，将它们相加，每一项都仔细应用符号规则

错误做法:

最终答案只写出一个未知数的值，例如对于方程 $x + y = 14$ , $x - y = 2$ 只写 $x = 8$

原因:

题目要求得到两个方程的解，需要同时给出两个变量的值才能获得全部分数

正确做法:

最终答案务必明确写出两个未知数的值，例如 $x = 8, y = 6$

错误做法:

将算出的值代回你用于代入的整理后的方程，而不是代入另一个原方程检验

原因:

你整理过程中的任何错误都无法被这个检验发现，因此你可能注意不到错误的解

正确做法:

务必将两个值都代入你求第二个未知数时没有用到的原方程进行验证

错误做法:

（高阶层级）假设平行线有解，例如尝试求解 $y = 2 x + 1$ 和 $y = 2 x + 3$

原因:

平行线斜率相等且永不相交，因此这组联立方程没有有效解

正确做法:

检查两条直线的斜率是否相等：如果相等且y轴截距不同，说明不存在解

6. 速查表

方法	适用场景	关键步骤	检验步骤
消元法	某一变量的系数可以通过缩放轻松匹配的方程	缩放方程匹配某一变量的系数 2. 加减消去该变量 3. 求解剩余未知数 4. 代回求第二个未知数	将两个值代入未使用的原方程
代入法	某一变量系数为1或-1的方程	整理一个方程，将某一变量作为因变量 2. 代入第二个方程 3. 求解剩余未知数 4. 代回求第二个未知数	将两个值代入未使用的原方程
高阶图像法	提供了预先绘制好的直线的题目	定位两条直线的交点 2. 读出该点的x和y坐标	确认坐标同时满足两个原方程

7. 常见问题

考试中求解联立方程必须使用指定方法吗？

除非题目明确要求使用某一方法，否则你可以任选消元法或代入法，选择你认为对应方程组更简便的方法即可。请务必写出全部解题步骤以获得全部分数。

我如何检查自己的解是否正确？

将你算出的两个值同时代回两个原方程。如果每个方程的左右两边都相等，说明你的解是正确的。

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下一步

现在你已经掌握了二元线性联立方程的求解，接下来可以学习Edexcel IGCSE 数学 A 考纲中更复杂的方程类型。下一个核心主题是包含一个线性方程和一个二次方程的联立方程，它直接建立在你刚学过的代入法基础上。你还会将这些求解技能应用到实际问题解答中，例如计算成本、速度以及几何问题中的未知长度。对于高阶学生，本主题直接关联直线图像和坐标几何，因此请确保你熟练掌握绘制直线和识别直线属性的能力，以应对图像解读类题目。尽可能多练习历年真题，提升解题速度和准确率，因为几乎每一次考试都会考察本主题。