# 不等式

> 爱德思国际普通中等教育证书 数学A · 4MA1（2016版）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-a-s2-inequalities/

本指南将教授你求解线性不等式以及（高阶内容）二次不等式的方法，在数轴上表示解集，以及在直角坐标系中绘制和识别不等式定义的区域，内容完全匹配爱德思IGCSE数学A 4MA1大纲2.8节要求。

**先修:** [求解线性方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-a-s2-linear-equations/); [绘制直线图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-a-s3-straight-line-graphs/); [（仅高阶内容）求解二次方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-a-s2-quadratic-equations/)

## 学习目标

- 理解并使用不等号（<、>、≤、≥），包括双向不等式
- 使用空心/实心圆点约定在数轴上表示线性不等式的解集
- 求解一元线性不等式，包括系数为负的情况
- 在直角坐标系中绘制并识别由线性不等式定义的区域
- （仅高阶内容）求解一元二次不等式并在数轴上表示解集
- （仅高阶内容）识别由多个线性不等式定义的复合区域

## 不等式符号与数轴表示

**不等号** — 四个核心不等号分别为：<（小于，严格）、>（大于，严格）、≤（小于等于，非严格）、≥（大于等于，非严格）。双向不等式同时包含两个条件，例如$2 < x \leq 7$表示x大于2且小于等于7。

在数轴上表示不等式时，严格不等式（不包含边界值）使用空心圆点，非严格不等式（包含边界值）使用实心填充圆点。

**例题:** 在数轴上表示不等式$-1 \leq x < 3$。

1. 确定边界值：$x = -1$和$x = 3$。
2. 对于$x=-1$，不等式使用$\leq$，因此在-1位置绘制实心填充圆点。
3. 对于$x=3$，不等式使用$<$，因此在3位置绘制空心圆点。
4. 绘制一条实线连接两个圆点，表示两点之间的所有值都属于解集。

> **考试提示:** 请务必在数轴上清晰标注边界值和整数刻度。正确的线段位置和圆点类型都会得分，因此作答完成后请再次核对这两点再继续下一题。

## 求解线性不等式

求解线性不等式的规则与求解线性方程几乎完全相同，只有一个关键例外：如果将不等式两边同时乘以或除以负数，必须翻转不等号的方向。

> **warning**
>
> 乘除负数时忘记翻转不等号是本知识点最常见的失分错误之一。在得出最终解集前，请务必检查你使用的乘数或除数是否为负数。

**例题:** 求解$5 - 2x \geq 9$并在数轴上表示解集。

1. 两边同时减去5：$-2x \geq 4$
2. 两边同时除以-2，并翻转不等号：$x \leq -2$
3. 在数轴上表示：在-2处画实心圆点，向左延伸一条实线，表示所有小于等于-2的数值都包含在解集中。

**例题:** 求解双边不等式$4 < 2x + 6 \leq 12$。

1. 不等式的三端同时减去6：$4-6 < 2x \leq 12-6$，化简后得到$-2 < 2x \leq 6$
2. 三端同时除以2（2为正数，因此不等号方向无需改变）：$-1 < x \leq 3$

*计算器:* allowed

## 笛卡尔坐标系中的不等式

要在笛卡尔坐标系中表示线性不等式，首先画出对应线性方程的边界线。对于严格不等式（<、>），边界线为虚线；对于非严格不等式，边界线为实线（爱德思IGCSE基础单元不强制要求边界线规范标记，但建议保持画法一致）。随后对满足所有给定不等式的区域进行涂色。

**例题:** 对同时满足三个不等式$x \geq 0$、$y \geq x$、$x + y \leq 4$的区域进行涂色，将该区域标记为R。

1. 画出边界线$x=0$（即y轴）：该线为实线，对直线右侧的区域涂色。
2. 画出边界线$y=x$：该线为实线，对直线上方的区域涂色（测试点(0,2)：$2 \geq 0$，成立）。
3. 画出边界线$x+y=4$（整理为$y=-x+4$）：该线为实线，对直线下方的区域涂色（测试点(0,0)：$0+0 \leq 4$，成立）。
4. 涂色区域的重叠部分同时满足三个不等式，将该区域标记为R。

> **考试提示:** 始终选取不在边界线上的点进行测试（例如若(0,0)不在边界线上则可选用该点），确认直线的哪一侧满足不等式。这可以避免因记错涂色规则而产生的错误。对于高阶考试单元，你可能会遇到更复杂的边界线，例如$y=2x+1$或$5x+2y=20$，使用完全相同的方法即可。

## （仅高阶单元要求）求解二次不等式

**临界值** — 不等式对应的二次方程的根，构成了解集的边界。

对于$x^2$系数为正的二次不等式（开口向上的抛物线）：若不等式为>0，解集为两个临界值外侧的所有数值；若不等式为<0，解集为两个临界值之间的所有数值。如果你不确定对应的区域，务必代入一个数值进行验证。

**例题:** 求解$x^2 - 3x - 10 < 0$，并在数轴上表示出解集。

1. 求解对应的二次方程$x^2 - 3x -10 = 0$，得到临界值。
2. $$(x-5)(x+2) = 0 \implies x=5, x=-2$$
3. 该不等式为<0，且$x^2$的系数为正，因此解集为两个根之间的所有数值：$-2 < x < 5$
4. 在数轴上表示：在-2和5处画空心圆点，用实线将两点连接，表示两点之间的所有数值都包含在解集中。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** Forgetting to reverse the inequality sign when multiplying/dividing by a negative number
  - 原因: Multiplying/dividing by a negative reverses the order of values, so the inequality direction must flip to keep the statement true
  - 正确做法: Whenever you multiply or divide both sides of an inequality by a negative number, immediately flip < to >, ≤ to ≥, or vice versa.
- **错误做法:** Using the wrong circle type on number lines (closed for strict, open for non-strict)
  - 原因: This incorrectly shows whether the boundary value is included in the solution set, costing easy method marks
  - 正确做法: Use open circles for <, >; closed filled circles for ≤, ≥. Double check circle types before moving to the next question.
- **错误做法:** Shading the wrong region on Cartesian graphs
  - 原因: You mixed up the side of the line that satisfies the inequality, leading to an incorrect region
  - 正确做法: Always test a point not on the boundary line (e.g. (0,0) if it is not on the line) to confirm which side of the line satisfies the inequality.
- **错误做法:** (Higher only) Choosing the wrong region for quadratic inequalities (e.g. picking between roots for $x^2 > a$)
  - 原因: You forgot the shape of the parabola, or did not test a value to confirm the region
  - 正确做法: For positive $x^2$ coefficient: > 0 = solution outside roots, < 0 = solution between roots. Test a value in the region to confirm if unsure.
- **错误做法:** Splitting double-ended inequalities into two separate inequalities unnecessarily, leading to arithmetic errors
  - 原因: Unnecessary extra steps increase the chance of calculation mistakes and sign errors
  - 正确做法: Apply operations (add, subtract, multiply, divide) to all three parts of the double-ended inequality at the same time to keep calculations simple.

## 速查表

| Task | Foundation Tier Rule | Higher Tier Addendum |
| --- | --- | --- |
| Interpret symbols | <: open circle, >: open circle, ≤: closed circle, ≥: closed circle | Same as foundation |
| Solve linear inequalities | Same steps as linear equations, reverse sign if ×/÷ by negative | Same as foundation |
| Number line representation | Connect correct circle types with solid line for solution set | Same for linear; open circles for strict quadratic inequalities |
| Graph shading | Draw boundary lines, shade overlapping region, label with R | Handle complex linear boundaries (e.g. 5x+2y=20) using same method |
| Solve quadratic inequalities | Not required | Find critical values, positive $x^2$: >0 = outside roots, <0 = between roots |

## 下一步

Now that you have mastered inequalities for Edexcel IGCSE Maths A, you can apply these skills to tackle more complex algebra topics and exam-style questions. Inequalities are often combined with other topics like sequences, graphs, and optimisation problems in Higher tier papers, so practicing mixed-topic questions will help you prepare for full-mark responses. Make sure you complete both Foundation and Higher tier past paper questions to test your understanding of all conventions and problem types for this topic.

- [Quadratic Equations (Higher Tier)](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-a-s2-quadratic-equations/)

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