# 整数

> Edexcel 国际GCSE 数学 A · 4MA1 (2016 考纲)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-a-s1-integers/

本指南涵盖Edexcel IGCSE 数学 A（4MA1）考纲点1.1的所有整数内容，包括带符号数运算、BIDMAS、质数、因数、倍数以及所有试卷适用的排序规则。

**先修:** 基础的数字识别和计数能力

## 学习目标

- 识别并排序正整数、负整数和零，正确应用位值规则
- 在实际场景中完成带符号整数的加减乘除运算
- 遵循BIDMAS优先级规则求解包含括号的多步整数计算
- 定义并识别奇数、偶数、质数、整数的因数和倍数
- 求解整数集合的质因数、公因数和公倍数

## 核心整数定义与排序

**整数** — 包含正值、负值和零的整数，没有分数或小数部分。

*例:* $-5, 0, 3, 172$ 是整数；$0.6, \frac{1}{2}, -3.2$ 不是整数。

整数遵循标准位值规则，每个数位的数值取决于它的位置（个位、十位、百位、千位等）。对整数排序时：负整数离零越远数值越小，正整数离零越远数值越大。

**例题:** 将以下整数从小到大排序：$7, -2, 0, -9, 3$

1. 1. 将数值分为负整数、零和正整数：负数 = $[-2, -9]$，零 = $0$，正数 = $[7, 3]$
2. 2. 将负数从小到大排序：数值更小的负数排在前面，因此$-9 < -2$
3. 3. 将正数从小到大排序：$3 < 7$
4. 4. 按顺序合并列表：$-9, -2, 0, 3, 7$

> **考试提示:** 反复检查负整数的排序：从小到大排序时把-2写在-9前面是非常常见的错误。

## 带符号整数的运算

**带符号数** — 带有正号或负号、表示相对于零的方向的数，通常用于温度、海拔或银行余额等实际场景。

- 加上一个负数 = 减去一个正数：$3 + (-2) = 3 - 2 = 1$
- 减去一个负数 = 加上一个正数：$5 - (-3) = 5 + 3 = 8$
- 同号两数相乘/相除得到正结果
- 异号两数相乘/相除得到负结果

**例题:** 奥斯陆午夜的温度为$-4^\circ C$。到正午时温度上升了$9^\circ C$，到下午6点时温度下降了$12^\circ C$。下午6点的温度是多少？

1. 1. 从午夜初始温度开始：$-4^\circ C$
2. 2. 加上正午的温度上升值：$-4 + 9 = 5^\circ C$
3. 3. 减去下午6点的温度下降值：$5 - 12 = -7^\circ C$
4. 最终答案：$-7^\circ C$

> **tip**
>
> 在实际带符号数问题的最终答案中务必带上单位（例如$^\circ C$、英镑），避免丢失容易拿到的分数。

## 运算顺序（BIDMAS）

**BIDMAS运算顺序** — 多步计算的标准运算优先级：先算括号，再算指数，之后算除法和乘法（优先级相同，从左到右计算），最后算加法和减法（优先级相同，从左到右计算）。

**例题:** 计算$12 - 3 \times (4 + 2) \div 2$的值

1. 1. 首先计算括号内的值：$4 + 2 = 6$
2. 2. 化简表达式为：$12 - 3 \times 6 \div 2$
3. 3. 从左到右完成乘除运算：$3 \times 6 = 18$，之后$18 \div 2 = 9$
4. 4. 完成最后的减法：$12 - 9 = 3$
5. 最终答案：$3$

> **考试提示:** 不要不遵循BIDMAS就从左到右计算：这是算术题中最常见的非必要失分原因之一。

## 质数、因数和倍数

- **偶数**：能被2整除的整数（末位为0、2、4、6、8）
- **奇数**：不能被2整除的整数（末位为1、3、5、7、9）
- **质数**：恰好有两个不同正因数的正整数（1和它本身；1不是质数）
- **因数**：能够整除另一个整数且无余数的整数
- **倍数**：一个整数与任意正整数的乘积

**例题:** 列出12和18的质因数、公因数以及前3个公倍数。

1. 1. 12的质因数：2、3；18的质因数：2、3
2. 2. 列出12的所有因数：1、2、3、4、6、12；18的所有因数：1、2、3、6、9、18
3. 3. 公因数是两个列表中都存在的值：1、2、3、6
4. 4. 列出12的倍数：12、24、36、48、60、72……；18的倍数：18、36、54、72、90……
5. 5. 前3个公倍数：36、72、108

**概念自测**

1. 以下哪个数是质数？

   - A) 1
   - B) 9
   - C) 13
   - D) 21

   *解析:* 13只有两个因数：1和13。1只有一个因数，9的因数是1、3、9，21的因数是1、3、7、21。

## 常见错误

- **错误做法:** 将整数从小到大排序为$-2, -9, 0, 3, 7$
  - 原因: 误以为负整数的数位数值越大，数本身就越大
  - 正确做法: 负的程度越高数值越小，因此正确顺序是$-9, -2, 0, 3, 7$
- **错误做法:** 计算$5 - (-3) = 2$
  - 原因: 把减去负数当成了减去正数
  - 正确做法: 减去负数等于加上正数，因此$5 + 3 = 8$
- **错误做法:** 将1归类为质数
  - 原因: 记错质数定义，只记住了'只能被1和它本身整除'，忽略了'恰好两个不同因数'的要求
  - 正确做法: 1只有一个因数（它自身），因此不是质数
- **错误做法:** 从左到右计算得到$2 + 3 \times 4 = 20$
  - 原因: 忽略BIDMAS运算顺序
  - 正确做法: 先完成乘法：$3 \times 4 = 12$，之后加2得到14
- **错误做法:** 计算$(-4) \times (-5) = -20$
  - 原因: 错误应用带符号数乘法的符号规则
  - 正确做法: 两个负数相乘得到正结果，因此答案是20

## 速查表

| 概念 | 规则/定义 |
| --- | --- |
| 整数 | 整数（正、负、零，无分数/小数） |
| 乘除符号规则 | 同号得正，异号得负 |
| BIDMAS顺序 | 括号 > 指数 > 乘/除（从左到右） > 加/减（从左到右） |
| 质数 | 恰好2个因数：1和它本身；1不是质数 |
| 因数 | 无余数整除另一个数的整数 |
| 倍数 | 一个数与任意正整数的乘积 |

## 下一步

整数是Edexcel IGCSE 数学 A所有内容的基础，掌握这些规则对于学习其他所有主题都至关重要。你现在可以继续学习幂与根的相关内容，届时你将应用BIDMAS和质因数知识求解更复杂的算术题，对应考纲点1.4。你也可以练习整数计算题目，提升考试的解题速度和准确率，同时复习分数、小数等其他数系主题，巩固你的核心算术技能。

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