驻点与转向点

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· 9D· 15 分钟阅读

1. 通过求解 $\frac{dy}{dx} = 0$ 求驻点★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

曲线 $y = f (x)$ 上的驻点是曲线梯度等于零的点，意味着在该位置曲线的切线完全水平。

📘 定义

驻点

曲线 $y = f (x)$ 上满足 $\frac{d y}{d x} = 0$ 的点 $(x, y)$ ，此处曲线的梯度为零。

📐 例题

求曲线 $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$ 上的驻点坐标。

1
1. 将 $y$ 对 $x$ 求导，得到一阶导数：
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9$
2
1. 令 $\frac{d y}{d x} = 0$ ，求解 $x$ ：
$3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1 \text{ or } x = 3$
3
1. 将每个求得的 $x$ 值代回原函数，得到对应的 $y$ 值：当 $x = 1$ 时， $y = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$ ；当 $x = 3$ 时， $y = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$ 。
4
1. 写出驻点坐标： $(1, 6)$ 和 $(3, 2)$ 。

Exam tip:

务必将求得的 $x$ 值代回原函数，而非导数，才能得到正确的 $y$ 坐标，拿到全部分数。

2. 使用二阶导数检验法对驻点分类★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

求出驻点后，你需要判断其类型：局部极大值、局部极小值或拐点。当驻点处的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 不为零时，二阶导数检验法是最快捷的方法。

📘 定义

二阶导数检验法

利用二阶导数的符号对驻点分类的检验方法：若 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} < 0$ ，该点为局部极大值点；若 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} > 0$ ，该点为局部极小值点；若 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = 0$ ，该检验法无法得出确定结论。

📐 例题

使用二阶导数检验法，对上一个例题中的驻点 $(1, 6)$ 和 $(3, 2)$ 进行分类。

1
1. 对一阶导数 $\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 12 x + 9$ 再次求导，得到二阶导数：
$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12$
2
1. 将 $x = 1$ 代入 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 计算： $6 (1) - 12 = - 6$ 。由于 $- 6 < 0$ ，因此 $(1, 6)$ 是局部极大值点。
3
1. 将 $x = 3$ 代入 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 计算： $6 (3) - 12 = 6$ 。由于 $6 > 0$ ，因此 $(3, 2)$ 是局部极小值点。
4
1. 清晰陈述你的结论，注明你使用的方法为二阶导数检验法。

3. 驻点的一阶导数符号变化检验法★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

当二阶导数检验法无法得出结论，或者对复杂函数求二阶导数非常耗时的时候，可以使用该检验法。它通过检查驻点左右两侧紧邻位置的 $\frac{d y}{d x}$ 符号，观察梯度的变化规律。

📘 定义

一阶导数符号变化检验法

在驻点的x坐标左右两侧取略小和略大的点，检查 $\frac{d y}{d x}$ 的符号：梯度从正变负 = 局部极大值点；从负变正 = 局部极小值点；符号无变化 = 拐点。

📐 例题

某函数在 $x = 0$ 处有一个驻点，且该点处 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = 0$ ，其一阶导数为 $\frac{d y}{d x} = x^{3}$ 。使用一阶导数检验法对该驻点分类。

1
1. 在 $x = 0$ 左侧紧邻位置选取测试点，例如 $x = - 0.1$ ，计算 $\frac{d y}{d x}$ ： $(- 0.1)^{3} = - 0.001$ ，结果为负。
2
1. 在 $x = 0$ 右侧紧邻位置选取测试点，例如 $x = 0.1$ ，计算 $\frac{d y}{d x}$ ： $(0.1)^{3} = 0.001$ ，结果为正。
3
1. 观察符号变化：当经过 $x = 0$ 时，梯度从负变为正。
4
1. 结论： $x = 0$ 处的驻点是局部极小值点。

Exam tip:

使用该方法选取测试点时，要选择距离驻点x坐标非常近的数值，确保你的测试点和目标点之间不存在其他驻点。

4. 常见陷阱

错误做法:

令 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = 0$ 来求解驻点

原因:

驻点的定义是一阶导数为零，而非二阶导数为零

正确做法:

始终先通过求解 $\frac{d y}{d x} = 0$ 得到驻点的x坐标

错误做法:

当 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = 0$ 时直接猜测点的类型

原因:

此时二阶导数检验法无法得出确定结论，猜测会导致失分

正确做法:

改用一阶导数符号变化检验法，正确对该点分类

错误做法:

将x值代入 $\frac{d y}{d x}$ 来计算驻点的y坐标

原因:

$\frac{d y}{d x}$ 给出的是梯度，而非原曲线的y值

正确做法:

始终将x值代入原函数 $y = f (x)$ ，计算对应的y坐标

错误做法:

一阶导数检验法中选取距离驻点过远的测试点

原因:

测试点和目标点之间可能存在其他驻点，导致观察到的符号变化错误

正确做法:

选择距离驻点x值非常近的测试点，例如当驻点在 $x = 2$ 时选取 $\pm 0.1$ 作为测试点，避免出错

5. 速查表

任务	方法	核心规则
求驻点	求解 $\frac{d y}{d x} = 0$	将x代回原函数f(x)得到y值
快速分类驻点	二阶导数检验法	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} < 0 =$ 极大值； $> 0 =$ 极小值； $0 =$ 无法确定
分类驻点的备用方法	一阶导数符号检验法	正变负 = 极大值；负变正 = 极小值；无变化 = 拐点
考试作答规范	说明使用的检验方法	为每个驻点写出清晰的结论

6. 常见问题

考试中我需要同时展示两种分类检验方法才能拿分吗？

不需要，你只需展示任意一种有效检验方法即可，但必须明确说明你使用的是哪种方法，才能拿到全部步骤分。

如果驻点处的二阶导数等于零，我该怎么做？

此时二阶导数检验法无法得出确定结论，你必须使用一阶导数符号变化检验法才能正确对该点分类。

深入阅读

formula_sheetEdexcel 4PM1 官方公式表第34页可查阅考纲给定公式

下一步

现在你已经掌握了求解和分类驻点的方法，Edexcel IGCSE 进阶纯数微积分单元的下一个主题是应用优化，你将使用这些技能来解决需要求最大值或最小值的实际问题。在后续学习曲线的切线和法线梯度时，你也需要用到驻点相关知识。熟练掌握该主题是在微积分考题中拿到高分的关键，微积分考题通常占每份4PM1试卷总分的15-20%。请务必练习历年真题，提升在考试环境下求解和分类驻点的速度与准确率。