# 驻点与转向点

> Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学 · 4PM1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s9-stationary-points-and-turning-points/

本指南涵盖Edexcel IGCSE 进阶纯数（4PM1）9D章节中关于驻点和转向点的全部要求内容，包括求解驻点坐标，以及使用两种官方认可的考试技巧判断驻点的性质。

**先修:** [使用幂法则、链式法则、乘积法则、商法则对 $x^n$, $\sin(kx)$, $\cos(kx)$, $e^{kx}$ 形式的函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s9-rules-of-differentiation/); [求解一次和二次方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-algebra-solving-quadratic-equations/)

## 学习目标

- 通过求解 dy/dx = 0，求出所有4PM1考纲认可的可导函数的驻点坐标
- 使用二阶导数检验法和一阶导数符号变化检验法两种方法对驻点进行分类
- 清晰呈现解题步骤，在该主题的结构化考题中拿到全部分数

## 通过求解 $\frac{dy}{dx} = 0$ 求驻点

曲线 $y = f(x)$ 上的驻点是曲线梯度等于零的点，意味着在该位置曲线的切线完全水平。

**驻点** — 曲线 $y = f(x)$ 上满足 $\frac{dy}{dx} = 0$ 的点 $(x, y)$，此处曲线的梯度为零。

**例题:** 求曲线 $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ 上的驻点坐标。

1. 1. 将 $y$ 对 $x$ 求导，得到一阶导数：

   $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9$$
2. 2. 令 $\frac{dy}{dx} = 0$，求解 $x$：

   $$3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1 \text{ or } x = 3$$
3. 3. 将每个求得的 $x$ 值代回原函数，得到对应的 $y$ 值：当 $x=1$ 时，$y = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$；当 $x=3$ 时，$y = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$。
4. 4. 写出驻点坐标：$(1, 6)$ 和 $(3, 2)$。

> **考试提示:** 务必将求得的 $x$ 值代回原函数，而非导数，才能得到正确的 $y$ 坐标，拿到全部分数。

*计算器:* allowed

## 使用二阶导数检验法对驻点分类

求出驻点后，你需要判断其类型：局部极大值、局部极小值或拐点。当驻点处的 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 不为零时，二阶导数检验法是最快捷的方法。

**二阶导数检验法** — 利用二阶导数的符号对驻点分类的检验方法：若 $\frac{d^2y}{dx^2} < 0$，该点为局部极大值点；若 $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$，该点为局部极小值点；若 $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$，该检验法无法得出确定结论。

**例题:** 使用二阶导数检验法，对上一个例题中的驻点 $(1, 6)$ 和 $(3, 2)$ 进行分类。

1. 1. 对一阶导数 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9$ 再次求导，得到二阶导数：

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12$$
2. 2. 将 $x=1$ 代入 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 计算：$6(1) - 12 = -6$。由于 $-6 < 0$，因此 $(1, 6)$ 是局部极大值点。
3. 3. 将 $x=3$ 代入 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 计算：$6(3) - 12 = 6$。由于 $6 > 0$，因此 $(3, 2)$ 是局部极小值点。
4. 4. 清晰陈述你的结论，注明你使用的方法为二阶导数检验法。

> **warning**
>
> 如果驻点处的二阶导数等于零，你不能使用该检验法。此时必须改用一阶导数符号变化检验法，因为该点可能属于三种类型中的任意一种。

*计算器:* allowed

## 驻点的一阶导数符号变化检验法

当二阶导数检验法无法得出结论，或者对复杂函数求二阶导数非常耗时的时候，可以使用该检验法。它通过检查驻点左右两侧紧邻位置的 $\frac{dy}{dx}$ 符号，观察梯度的变化规律。

**一阶导数符号变化检验法** — 在驻点的x坐标左右两侧取略小和略大的点，检查 $\frac{dy}{dx}$ 的符号：梯度从正变负 = 局部极大值点；从负变正 = 局部极小值点；符号无变化 = 拐点。

**例题:** 某函数在 $x=0$ 处有一个驻点，且该点处 $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$，其一阶导数为 $\frac{dy}{dx} = x^3$。使用一阶导数检验法对该驻点分类。

1. 1. 在 $x=0$ 左侧紧邻位置选取测试点，例如 $x = -0.1$，计算 $\frac{dy}{dx}$：$(-0.1)^3 = -0.001$，结果为负。
2. 2. 在 $x=0$ 右侧紧邻位置选取测试点，例如 $x = 0.1$，计算 $\frac{dy}{dx}$：$(0.1)^3 = 0.001$，结果为正。
3. 3. 观察符号变化：当经过 $x=0$ 时，梯度从负变为正。
4. 4. 结论：$x=0$ 处的驻点是局部极小值点。

> **考试提示:** 使用该方法选取测试点时，要选择距离驻点x坐标非常近的数值，确保你的测试点和目标点之间不存在其他驻点。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 令 $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ 来求解驻点
  - 原因: 驻点的定义是一阶导数为零，而非二阶导数为零
  - 正确做法: 始终先通过求解 $\frac{dy}{dx} = 0$ 得到驻点的x坐标
- **错误做法:** 当 $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ 时直接猜测点的类型
  - 原因: 此时二阶导数检验法无法得出确定结论，猜测会导致失分
  - 正确做法: 改用一阶导数符号变化检验法，正确对该点分类
- **错误做法:** 将x值代入 $\frac{dy}{dx}$ 来计算驻点的y坐标
  - 原因: $\frac{dy}{dx}$ 给出的是梯度，而非原曲线的y值
  - 正确做法: 始终将x值代入原函数 $y = f(x)$，计算对应的y坐标
- **错误做法:** 一阶导数检验法中选取距离驻点过远的测试点
  - 原因: 测试点和目标点之间可能存在其他驻点，导致观察到的符号变化错误
  - 正确做法: 选择距离驻点x值非常近的测试点，例如当驻点在 $x=2$ 时选取 $\pm 0.1$ 作为测试点，避免出错

## 速查表

| 任务 | 方法 | 核心规则 |
| --- | --- | --- |
| 求驻点 | 求解 $\frac{dy}{dx} = 0$ | 将x代回原函数f(x)得到y值 |
| 快速分类驻点 | 二阶导数检验法 | $\frac{d^2y}{dx^2} < 0 = $ 极大值；$>0 = $ 极小值；$0 = $ 无法确定 |
| 分类驻点的备用方法 | 一阶导数符号检验法 | 正变负 = 极大值；负变正 = 极小值；无变化 = 拐点 |
| 考试作答规范 | 说明使用的检验方法 | 为每个驻点写出清晰的结论 |

## 下一步

现在你已经掌握了求解和分类驻点的方法，Edexcel IGCSE 进阶纯数微积分单元的下一个主题是应用优化，你将使用这些技能来解决需要求最大值或最小值的实际问题。在后续学习曲线的切线和法线梯度时，你也需要用到驻点相关知识。熟练掌握该主题是在微积分考题中拿到高分的关键，微积分考题通常占每份4PM1试卷总分的15-20%。请务必练习历年真题，提升在考试环境下求解和分类驻点的速度与准确率。

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