最大值与最小值

Q: 我必须对驻点是极大值点还是极小值点给出证明吗？

是的，4PM1考试明确要求对所有驻点分类给出证明，即便题目没有明确要求。如果跳过这一步，每道题你会丢失1-2分。

Q: 我可以用梯度符号检验法代替二阶导数检验法吗？

两种方法都可获得满分。对于绝大多数4PM1考试涉及的函数，二阶导数检验法更快捷，但如果驻点处的二阶导数等于零，请使用梯度符号检验法。

Q: 我需要背诵实际问题中用到的测量公式吗？

球体表面积、球体体积以及圆锥曲面面积都在4PM1的公式表中给出。你需要自行记忆其他公式，例如圆柱体体积/表面积、矩形面积等。

爱德思国际普通中等教育证书进阶纯数学· 9E· 25 分钟阅读

1. 极大值与极小值的证明★★☆☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

📘 定义

驻点分类规则

二阶导数检验法：若驻点处满足 $f^{''} (x) < 0$ ，则该点为局部极大值点；若满足 $f^{''} (x) > 0$ ，则该点为局部极小值点；若满足 $f^{''} (x) = 0$ ，则该检验无法得出结论。2. 梯度符号检验法：若梯度由正变负，则该点为极大值点；若梯度由负变正，则该点为极小值点。

📐 例题

求解并分类函数 $f (x) = x^{3} - 12 x + 3$ 的驻点

1
步骤1：计算一阶导数，求解得到所有驻点
$f'(x) = 3x^2 - 12 = 0 \implies x^2 =4 \implies x=2, x=-2$
2
步骤2：计算二阶导数
$f''(x) = 6x$
3
步骤3：使用二阶导数检验法对每个点分类：对于 $x = 2$ ， $f^{''} (2) = 12 > 0$ ，因此是局部极小值点。对于 $x = - 2$ ， $f^{''} (- 2) = - 12 < 0$ ，因此是局部极大值点。

Exam tip:

如果驻点处的二阶导数等于零，请始终使用梯度符号检验法，不要直接假设该点是拐点。

2. 建立实际优化问题的函数★★★☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

对于实际问题，你首先需要定义变量，利用题目给出的约束条件消去多余变量，写出目标函数（即你需要优化的量），并说明自变量的有效定义域。

📐 例题

一名农民有80米长的围栏，要靠着一面墙搭建一个矩形羊圈，因此只需要围三面。请建立羊圈面积的目标函数并说明其定义域。

1
步骤1：定义变量：令 $x$ 为羊圈垂直于墙的宽度， $l$ 为羊圈平行于墙的长度。
2
步骤2：利用围栏长度约束： $2 x + l = 80 ⟹ l = 80 - 2 x$
3
步骤3：写出目标函数（面积）： $A (x) = x \times l = x (80 - 2 x) = 80 x - 2 x^{2}$
4
步骤4：说明定义域：长度为正，因此 $x > 0$ 且 $80 - 2 x > 0 ⟹ 0 < x < 40$

3. 求解完整的实际优化问题★★★★☆⏱ 20 min

✓ 计算器

所有实际优化问题都遵循以下标准流程：建立目标函数、求导、找到驻点、对驻点分类、计算最大值/最小值、检验定义域端点以确认结果。

📐 例题

求解上一例题中羊圈的最大面积。

1
步骤1：已知 $A (x) = 80 x - 2 x^{2}$ ，定义域为 $0 < x < 40$
2
步骤2：求导以找到驻点
$\frac{dA}{dx} = 80 - 4x = 0 \implies x = 20$
3
步骤3：对驻点进行分类： $\frac{d ^{2} A}{d x ^{2}} = - 4 < 0$ ，因此该点为局部极大值点。
4
步骤4：计算最大面积： $A (20) = 80 (20) - 2 (20)^{2} = 1600 - 800 = 800 m^{2}$
5
步骤5：检查端点： $A (0) = 0$ ， $A (40) = 0$ ，因此800 m²是符合要求的最大面积。

4. 复杂求导的优化问题★★★★☆⏱ 15 min

✓ 计算器

对于涉及3D几何体或非多项式函数的问题，你需要使用乘积法则、商数法则或链式法则对目标函数求导。公式表中给出的测量公式可用于构建所需函数。

📐 例题

一个开口圆柱罐的固定表面积为 $200 π$ cm²，求该罐的最大体积。

1
步骤1：定义变量： $r$ = 半径， $h$ = 高度。表面积约束： $π r^{2} + 2 π r h = 200 π$
2
步骤2：整理约束式消去 $h$ ： $r^{2} + 2 r h = 200 ⟹ h = \frac{200 - r ^{2}}{2 r}$
3
步骤3：写出体积目标函数
$V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \times \frac{200 - r^2}{2r} = \frac{\pi}{2}(200r - r^3)$
4
步骤4：求导并找到驻点
$\frac{dV}{dr} = \frac{\pi}{2}(200 - 3r^2) = 0 \implies 3r^2 = 200 \implies r = \sqrt{\frac{200}{3}} \approx 8.16 \text{ cm}$
5
步骤5：分类判定： $\frac{d ^{2} V}{d r ^{2}} = \frac{π}{2} (- 6 r) = - 3 π r < 0$ 对所有正的 $r$ 成立，因此该点为极大值点。
6
步骤6：计算最大体积
$V = \frac{\pi}{2}\left(200\times\sqrt{\frac{200}{3}} - \left(\sqrt{\frac{200}{3}}\right)^3\right) \approx 1710 \text{ cm}^3$

5. 常见陷阱

错误做法:

Skipping justification of stationary point type

原因:

4PM1 spec explicitly requires justification, you will lose 1-2 marks per question if you omit this step

正确做法:

Always include either the second derivative sign result or gradient sign test result in your solution

错误做法:

Forgetting to state domain restrictions for practical problems

原因:

Some stationary points may correspond to negative lengths or impossible values, so must be discarded

正确做法:

Write the valid domain for your independent variable immediately after defining your objective function

错误做法:

Assuming a stationary point with $f^{''} (x) = 0$ is a point of inflection

原因:

A zero second derivative only means the test is inconclusive, the point could still be a maximum or minimum

正确做法:

Use the gradient sign change test to classify points where the second derivative equals zero

错误做法:

Leaving the final answer as the x-coordinate of the stationary point

原因:

Most exam questions ask for the maximum/minimum value (area, volume etc), not the input value that produces it

正确做法:

Substitute your stationary point x-value back into the original objective function to get the required quantity

错误做法:

Failing to check domain endpoints for practical problems

原因:

In some cases, the maximum/minimum value may occur at the edge of the domain, not at a stationary point

正确做法:

Compare the function value at the stationary point and at the domain endpoints to confirm your result

6. 速查表

Step	Action	Exam Tip
1	Define variables, write objective function	Label variables with units from the problem context
2	State valid domain for independent variable	Ensure all quantities (length, area etc) are positive
3	Differentiate objective function to find $f^{'} (x)$	Use correct differentiation rules, simplify fully
4	Set $f^{'} (x) = 0$ , solve for stationary points	Discard any solutions outside your stated domain
5	Classify stationary points	Use second derivative test first; use gradient test if $f^{''} (x) = 0$
6	Calculate final value	Substitute x back into objective function, check endpoints, add units

7. 常见问题

我必须对驻点是极大值点还是极小值点给出证明吗？

是的，4PM1考试明确要求对所有驻点分类给出证明，即便题目没有明确要求。如果跳过这一步，每道题你会丢失1-2分。

我可以用梯度符号检验法代替二阶导数检验法吗？

两种方法都可获得满分。对于绝大多数4PM1考试涉及的函数，二阶导数检验法更快捷，但如果驻点处的二阶导数等于零，请使用梯度符号检验法。

我需要背诵实际问题中用到的测量公式吗？

球体表面积、球体体积以及圆锥曲面面积都在4PM1的公式表中给出。你需要自行记忆其他公式，例如圆柱体体积/表面积、矩形面积等。

深入阅读

official_document爱德思4PM1考试大纲4PM1官方教学大纲
study_guide求导法则速查表

下一步

Now that you have mastered maxima and minima for Edexcel IGCSE Further Pure Math (4PM1), you are ready to progress to the next calculus subtopics. Optimisation problems are frequently tested in both Paper 1 and Paper 2 of the 4PM1 exam, so practice past paper questions to build speed and accuracy, especially for setting up objective functions from practical contexts. Remember to always include justification for stationary point classification, as this is one of the most common mark-losing areas for students. If you are still making errors when computing first or second derivatives, revisit the differentiation rules revision guide before moving on to tangents and normals.