切线与法线方程

Q: 我应该将切线/法线方程写成什么形式？

Edexcel考试接受任意正确的等价形式，除非题目明确指定格式，否则优先使用 或 形式。

Q: 如果切线斜率为零我该怎么处理？

如果 ，切线为水平线（形式 ），法线为竖直线（形式 ）。不要尝试计算 ，否则会出现除零错误。

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· 9F· 15 分钟阅读

1. 曲线的切线斜率★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

切线斜率

$m_{t} = f^{'} (a)$

曲线 $y = f (x)$ 在点 $x = a$ 处的切线斜率等于 $f (x)$ 的导数在 $x = a$ 处的取值。

要计算切线斜率，首先使用合适的求导法则对 $f (x)$ 求导，再将给定点的x坐标代入导函数。如果题目仅给出x坐标，将其代入原函数 $f (x)$ 计算对应的y坐标。

📐 例题

求曲线 $y = 3 x^{2} + 2 x - 1$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率。

1
步骤1：使用幂法则对函数求导：
$f'(x) = 6x + 2$
2
步骤2：将 $x = 1$ 代入导函数：
$f'(1) = 6(1) + 2 = 8$
3
步骤3： $x = 1$ 处的切线斜率为8。

Exam tip:

计算切点的y坐标时，务必使用原函数，不要使用导函数。

2. 切线方程★★★☆☆⏱ 4 min

得到切线斜率 $m_{t}$ 和切点坐标 $(x_{1}, y_{1})$ 后，使用直线方程 $y - y_{1} = m_{t} (x - x_{1})$ 即可求出切线方程。如果题目指定了格式，请将方程整理为要求的形式。

📐 例题

求曲线 $y = (2 x - 1)^{3}$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程，结果以 $y = m x + c$ 的形式给出。

1
步骤1：使用链式法则求导：
$\frac{dy}{dx} = 6(2x - 1)^2$
2
步骤2：计算 $x = 1$ 处的导数值：
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1} = 6(2(1)-1)^2 = 6$
3
步骤3：代入直线方程：
$y - 1 = 6(x - 1)$
4
步骤4：整理为 $y = m x + c$ 形式：
$y = 6x - 5$

Exam tip:

请反复验证切点同时在原曲线和你最终得到的切线方程上，避免整理过程中出现符号错误。

3. 法线斜率★★★☆☆⏱ 3 min

📘 定义

法线斜率

$m_{n} = - \frac{1}{m _{t}}$ (for $m_{t} \neq = 0$ )

法线在切点处与切线垂直，因此其斜率是切线斜率的负倒数。

如果切线斜率为0（水平切线），则法线为竖直线，斜率不存在，方程形式为 $x = x_{1}$ 。如果切线斜率不存在（竖直切线），则法线为水平线，方程形式为 $y = y_{1}$ 。

📐 例题

求曲线 $y = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ 在 $x = 1$ 处的法线斜率。

1
步骤1：化简函数并求导：
$f(x) = x + x^{-1} \implies f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$
2
步骤2：计算 $x = 1$ 处的导数值：
$f'(1) = 1 - 1 = 0$
3
步骤3：切线斜率为0，因此法线为竖直线（斜率不存在），方程为 $x = 1$ 。

Exam tip:

当 $m_{t} = 0$ 时绝对不要尝试计算 $- 1/ m_{t}$ ，否则会出现除零错误，直接识别为水平线/竖直线的特殊情况即可。

4. 法线方程★★★★☆⏱ 4 min

✓ 计算器

得到法线斜率 $m_{n}$ 和切点坐标 $(x_{1}, y_{1})$ 后，代入和切线相同的直线公式 $y - y_{1} = m_{n} (x - x_{1})$ ，再整理为题目要求的形式即可。

📐 例题

求曲线 $y = x sin x$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 处的法线方程，结果以 $a x + b y + c = 0$ 的形式给出。

1
步骤1：计算该点的y坐标：
$y = \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$
2
步骤2：使用乘积法则求导：
$f'(x) = \sin x + x \cos x$
3
步骤3：计算 $x = \frac{π}{2}$ 处的导数值：
$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 = 1$
4
步骤4：计算法线斜率：
$m_n = -\frac{1}{1} = -1$
5
步骤5：代入直线方程：
$y - \frac{\pi}{2} = -1\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
6
步骤6：整理为 $a x + b y + c = 0$ 形式：
$x + y - \pi = 0$

5. 常见陷阱

错误做法:

使用导函数计算切点的y坐标

原因:

导函数返回的是斜率值，不是原曲线在指定x处的y值

正确做法:

始终将x坐标代入原函数 $f (x)$ 以得到正确的 $y_{1}$ 值

错误做法:

将切线斜率的正倒数作为法线斜率

原因:

互相垂直的直线斜率乘积为-1，因此需要取负倒数

正确做法:

当 $m_{t}$ 不为零时，法线斜率按 $m_{n} = - 1/ m_{t}$ 计算

错误做法:

当切线斜率为0时尝试计算 $- 1/ m_{t}$

原因:

除零是未定义操作，会得到无效结果

正确做法:

如果 $m_{t} = 0$ ，切线为水平线（ $y = y_{1}$ ），法线为竖直线（ $x = x_{1}$ ）

错误做法:

整理直线方程时出错，出现符号错误

原因:

简单的计算错误会让你在结构化考题中丢失容易拿到的分数

正确做法:

整理完成后，将点 $(x_{1}, y_{1})$ 代回最终方程验证正确性

错误做法:

使用错误的法则对函数求导，得到错误的导函数

原因:

切线/法线类题目完全依赖准确的求导结果才能得到正确的斜率

正确做法:

代入数值前，对照正确的求导法则（幂/乘积/商/链式法则）反复检查你的导函数

6. 速查表

物理量	公式	关键说明
点 $(x_{1}, y_{1})$ 处的切线斜率	$m_{t} = f^{'} (x_{1})$	在 $x_{1}$ 处计算导数值
切线方程	$y - y_{1} = m_{t} (x - x_{1})$	整理为题目要求的形式
法线斜率（非零 $m_{t}$ ）	$m_{n} = - 1/ m_{t}$	切线斜率的负倒数
法线方程（非零 $m_{t}$ ）	$y - y_{1} = m_{n} (x - x_{1})$	使用和切线相同的直线公式
水平切线（ $m_{t} = 0$ ）	切线： $y = y_{1}$ ，法线： $x = x_{1}$	无需进行除零运算
竖直切线（ $m_{t}$ 不存在）	切线： $x = x_{1}$ ，法线： $y = y_{1}$	适用于 $f^{'} (x)$ 不存在的点

7. 常见问题

我应该将切线/法线方程写成什么形式？

Edexcel考试接受任意正确的等价形式，除非题目明确指定格式，否则优先使用 $y = m x + c$ 或 $a x + b y + c = 0$ 形式。

如果切线斜率为零我该怎么处理？

如果 $f^{'} (x) = 0$ ，切线为水平线（形式 $y = k$ ），法线为竖直线（形式 $x = k$ ）。不要尝试计算 $- 1/ m_{t}$ ，否则会出现除零错误。

深入阅读

下一步

掌握切线与法线方程的计算方法后，你就可以将微积分技能应用到Edexcel IGCSE进阶纯数学考纲中更进阶的主题了。切线和法线方程经常和驻点问题结合，你将学习识别曲线上的极大值点、极小值点和拐点，并计算这些关键位置处的切线。你还会在解析几何题目中用到这些技能，这类题目要求你计算由切线、法线和坐标轴围成的图形面积，或者同一条曲线的多条切线的交点。练习融合了求导、解析几何和代数的综合题，将帮助你在这个高频考点上拿到满分。