# 切线与法线方程

> Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学 · 4PM1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s9-equations-of-tangents-and-normals/

本指南将教你使用求导和直线公式，计算形如 $y = f(x)$ 的曲线的切线与法线方程，完全匹配Edexcel IGCSE进阶纯数学（4PM1）考纲9F部分的要求。

**先修:** [使用幂法则、乘积法则、商法则和链式法则对函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s9-differentiation-rules/); [掌握直线方程 $y - y_1 = m(x - x_1)$ 和垂直斜率规则的使用](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s2-coordinate-geometry-straight-lines/)

## 学习目标

- 使用求导计算曲线 y = f(x) 在指定点处的切线斜率
- 使用直线公式 y - y₁ = m(x - x₁) 推导曲线的切线方程
- 求解曲线的法线斜率并写出其完整方程

## 曲线的切线斜率

**切线斜率** — 曲线 $y = f(x)$ 在点 $x=a$ 处的切线斜率等于 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处的取值。

*记法:* $m_t = f'(a)$

要计算切线斜率，首先使用合适的求导法则对 $f(x)$ 求导，再将给定点的x坐标代入导函数。如果题目仅给出x坐标，将其代入原函数 $f(x)$ 计算对应的y坐标。

**例题:** 求曲线 $y = 3x^2 + 2x - 1$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率。

1. 步骤1：使用幂法则对函数求导：

   $$f'(x) = 6x + 2$$
2. 步骤2：将 $x=1$ 代入导函数：

   $$f'(1) = 6(1) + 2 = 8$$
3. 步骤3：$x=1$ 处的切线斜率为8。

> **考试提示:** 计算切点的y坐标时，务必使用原函数，不要使用导函数。

## 切线方程

得到切线斜率 $m_t$ 和切点坐标 $(x_1, y_1)$ 后，使用直线方程 $y - y_1 = m_t(x - x_1)$ 即可求出切线方程。如果题目指定了格式，请将方程整理为要求的形式。

**例题:** 求曲线 $y = (2x - 1)^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程，结果以 $y = mx + c$ 的形式给出。

1. 步骤1：使用链式法则求导：

   $$\frac{dy}{dx} = 6(2x - 1)^2$$
2. 步骤2：计算 $x=1$ 处的导数值：

   $$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1} = 6(2(1)-1)^2 = 6$$
3. 步骤3：代入直线方程：

   $$y - 1 = 6(x - 1)$$
4. 步骤4：整理为 $y = mx + c$ 形式：

   $$y = 6x - 5$$

> **考试提示:** 请反复验证切点同时在原曲线和你最终得到的切线方程上，避免整理过程中出现符号错误。

## 法线斜率

**法线斜率** — 法线在切点处与切线垂直，因此其斜率是切线斜率的负倒数。

*记法:* $m_n = -\frac{1}{m_t}$ (for $m_t \neq 0$)

如果切线斜率为0（水平切线），则法线为竖直线，斜率不存在，方程形式为 $x = x_1$。如果切线斜率不存在（竖直切线），则法线为水平线，方程形式为 $y = y_1$。

**例题:** 求曲线 $y = \frac{x^2 + 1}{x}$ 在 $x = 1$ 处的法线斜率。

1. 步骤1：化简函数并求导：

   $$f(x) = x + x^{-1} \implies f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$$
2. 步骤2：计算 $x=1$ 处的导数值：

   $$f'(1) = 1 - 1 = 0$$
3. 步骤3：切线斜率为0，因此法线为竖直线（斜率不存在），方程为 $x = 1$。

> **考试提示:** 当 $m_t = 0$ 时绝对不要尝试计算 $-1/m_t$，否则会出现除零错误，直接识别为水平线/竖直线的特殊情况即可。

## 法线方程

得到法线斜率 $m_n$ 和切点坐标 $(x_1, y_1)$ 后，代入和切线相同的直线公式 $y - y_1 = m_n(x - x_1)$，再整理为题目要求的形式即可。

**例题:** 求曲线 $y = x \sin x$ 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处的法线方程，结果以 $ax + by + c = 0$ 的形式给出。

1. 步骤1：计算该点的y坐标：

   $$y = \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$$
2. 步骤2：使用乘积法则求导：

   $$f'(x) = \sin x + x \cos x$$
3. 步骤3：计算 $x = \frac{\pi}{2}$ 处的导数值：

   $$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 = 1$$
4. 步骤4：计算法线斜率：

   $$m_n = -\frac{1}{1} = -1$$
5. 步骤5：代入直线方程：

   $$y - \frac{\pi}{2} = -1\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$$
6. 步骤6：整理为 $ax + by + c = 0$ 形式：

   $$x + y - \pi = 0$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 使用导函数计算切点的y坐标
  - 原因: 导函数返回的是斜率值，不是原曲线在指定x处的y值
  - 正确做法: 始终将x坐标代入原函数 $f(x)$ 以得到正确的 $y_1$ 值
- **错误做法:** 将切线斜率的正倒数作为法线斜率
  - 原因: 互相垂直的直线斜率乘积为-1，因此需要取负倒数
  - 正确做法: 当 $m_t$ 不为零时，法线斜率按 $m_n = -1/m_t$ 计算
- **错误做法:** 当切线斜率为0时尝试计算 $-1/m_t$
  - 原因: 除零是未定义操作，会得到无效结果
  - 正确做法: 如果 $m_t = 0$，切线为水平线（$y = y_1$），法线为竖直线（$x = x_1$）
- **错误做法:** 整理直线方程时出错，出现符号错误
  - 原因: 简单的计算错误会让你在结构化考题中丢失容易拿到的分数
  - 正确做法: 整理完成后，将点 $(x_1, y_1)$ 代回最终方程验证正确性
- **错误做法:** 使用错误的法则对函数求导，得到错误的导函数
  - 原因: 切线/法线类题目完全依赖准确的求导结果才能得到正确的斜率
  - 正确做法: 代入数值前，对照正确的求导法则（幂/乘积/商/链式法则）反复检查你的导函数

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 关键说明 |
| --- | --- | --- |
| 点 $(x_1, y_1)$ 处的切线斜率 | $m_t = f'(x_1)$ | 在 $x_1$ 处计算导数值 |
| 切线方程 | $y - y_1 = m_t(x - x_1)$ | 整理为题目要求的形式 |
| 法线斜率（非零 $m_t$） | $m_n = -1/m_t$ | 切线斜率的负倒数 |
| 法线方程（非零 $m_t$） | $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ | 使用和切线相同的直线公式 |
| 水平切线（$m_t = 0$） | 切线：$y = y_1$，法线：$x = x_1$ | 无需进行除零运算 |
| 竖直切线（$m_t$ 不存在） | 切线：$x = x_1$，法线：$y = y_1$ | 适用于 $f'(x)$ 不存在的点 |

## 下一步

掌握切线与法线方程的计算方法后，你就可以将微积分技能应用到Edexcel IGCSE进阶纯数学考纲中更进阶的主题了。切线和法线方程经常和驻点问题结合，你将学习识别曲线上的极大值点、极小值点和拐点，并计算这些关键位置处的切线。你还会在解析几何题目中用到这些技能，这类题目要求你计算由切线、法线和坐标轴围成的图形面积，或者同一条曲线的多条切线的交点。练习融合了求导、解析几何和代数的综合题，将帮助你在这个高频考点上拿到满分。

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