运动学、面积与体积的应用

Q: 考卷提供的公式表中会给出旋转体体积的公式吗？

不会，你需要在考试中熟记公式（绕x轴旋转）和（绕y轴旋转），答题时务必注明旋转轴以及积分上下限。

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· S9C章节· 25 分钟阅读

1. 微积分在直线运动学中的应用★★☆☆☆⏱ 8 min

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📘 定义

运动学微积分关系

对于直线运动： $v = \frac{d s}{d t}$ ， $a = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}$ ， $s = \int v d t$ ， $v = \int a d t$ 。积分常数代表初始位移或初始速度。

求解运动学问题时，请注意题目给出的已知量是位移、速度还是加速度，选用对应的微分或积分运算求出未知量。记得代入初始条件求出所有积分常数的数值。

📐 例题

某质点沿直线运动，速度为 $v = 6 t - 2 t^{2}$ m/s，其中t为以秒为单位的时间。当t=0时，位移s=0。求该质点运动3秒后的位移，以及t=2秒时的加速度。

1
步骤1：将速度对时间积分，计算位移：
$s = \int v \, dt = \int (6t - 2t^2) dt = 3t^2 - \frac{2}{3}t^3 + c$
2
步骤2：使用t=0时s=0的初始条件求积分常数c：0 = 0 - 0 + c → c=0，因此 $s = 3 t^{2} - \frac{2}{3} t^{3}$
3
步骤3：代入t=3，求出3秒时的位移：
$s = 3(3)^2 - \frac{2}{3}(3)^3 = 3(9) - \frac{2}{3}(27) = 27 - 18 = 9 \, m$
4
步骤4：将速度对时间微分，计算加速度：
$a = \frac{dv}{dt} = 6 - 4t$
5
步骤5：代入t=2，求出2秒时的加速度：
$a = 6 - 4(2) = 6 - 8 = -2 \, m/s^2$

2. 运用定积分计算曲线下面积★★★☆☆⏱ 8 min

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📘 定义

曲线下面积

若曲线 $y = f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上始终位于x轴上方，则该曲线、x轴、直线 $x = a$ 与 $x = b$ 围成的面积可由定积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 求得。如果曲线位于x轴下方，则需要取积分结果的绝对值。

如果待求总面积的区间内曲线与x轴相交，需要在每个交点处将积分拆分为多个部分，分别计算每个积分的绝对值后相加，得到总面积。

📐 例题

求曲线 $y = 4 x - x^{2}$ 、x轴、直线x=1与x=3围成的面积。

1
步骤1：首先确认曲线在x=1到x=3之间位于x轴上方：曲线的根为x=0和x=4，因此该区间内所有函数值均为正。
2
步骤2：列出对应面积的定积分表达式：
$Area = \int_1^3 (4x - x^2) dx$
3
步骤3：对函数逐项积分：
$\int (4x - x^2) dx = 2x^2 - \frac{1}{3}x^3$
4
步骤4：代入上下限求值并相减：
$\left[2x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_1^3 = \left(2(9) - \frac{1}{3}(27)\right) - \left(2(1) - \frac{1}{3}(1)\right) = 9 - \frac{5}{3} = \frac{22}{3} \, square units$

3. 绕坐标轴旋转的旋转体体积★★★★☆⏱ 9 min

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📘 定义

旋转体体积公式

对于曲线 $y = f (x)$ ，在 $x = a$ 到 $x = b$ 区间内绕x轴旋转360°，所得体积为 $V = π \int_{a}^{b} y^{2} d x$ 。对于曲线 $x = g (y)$ ，在 $y = c$ 到 $y = d$ 区间内绕y轴旋转360°，所得体积为 $V = π \int_{c}^{d} x^{2} d y$ 。

积分前务必正确展开 $y^{2}$ 或 $x^{2}$ ，同时记得在最终答案中保留 $π$ 项。作答时必须写明旋转轴和积分上下限才能获得全部分数。

📐 例题

求曲线 $y = x^{2} + 1$ 在 $x = 0$ 到 $x = 2$ 区间内绕x轴旋转360°所形成的立体体积。

1
步骤1：写出绕x轴旋转的体积公式：
$V = \pi\int_0^2 y^2 dx$
2
步骤2：代入 $y = x^{2} + 1$ 并展开 $y^{2}$ ：
$y^2 = (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$
3
步骤3：代入展开后的项建立积分式：
$V = \pi\int_0^2 (x^4 + 2x^2 + 1) dx$
4
步骤4：逐项积分：
$\int (x^4 + 2x^2 + 1) dx = \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + x$
5
步骤5：代入上下限计算结果：
$\left[\frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + x\right]_0^2 = \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 = \frac{206}{15}$
6
步骤6：乘以 $π$ 得到最终体积：
$V = \frac{206}{15}\pi \, cubic units$

4. 常见陷阱

错误做法:

Forgetting to add the constant of integration when solving indefinite integrals for kinematics.

原因:

The constant represents initial displacement or velocity, so omitting it gives incorrect values for s or v at non-zero time.

正确做法:

Always add +c after integrating, then substitute given initial conditions to find the value of c.

错误做法:

Leaving an area calculation as a negative value.

原因:

Area is a scalar quantity, so negative values indicate the curve is below the x-axis, not a negative area.

正确做法:

Take the absolute value of any definite integral that returns a negative value when calculating area.

错误做法:

Forgetting to square y or x when calculating volumes of revolution.

原因:

The volume formula explicitly requires the square of the function value to account for the circular cross-section of the solid of revolution.

正确做法:

Always write the formula first, substitute the function, expand the squared term, then integrate.

错误做法:

Using the wrong limits when rotating about the y-axis.

原因:

When rotating about the y-axis, limits must be y-values, not x-values, as you are integrating with respect to y.

正确做法:

Rearrange the function to make x the subject, use the corresponding y-values as limits, and integrate $x^{2} d y$ .

错误做法:

Omitting the $π$ term in the final volume of revolution answer.

原因:

The volume formula includes $π$ from the area of a circular cross-section ( $A = π r^{2}$ ).

正确做法:

Always include $π$ in your answer, unless explicitly asked to give a numerical value by substituting $π \approx 3.14$ or using a calculator.

5. 速查表

Concept	Formula	Key Notes
Kinematics: Velocity from Displacement	$v = \frac{d s}{d t}$	Differentiate displacement with respect to time
Kinematics: Acceleration from Velocity	$a = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}$	Differentiate velocity once or displacement twice
Kinematics: Displacement from Velocity	$s = \int v d t + c$	c = initial displacement at t=0
Kinematics: Velocity from Acceleration	$v = \int a d t + c$	c = initial velocity at t=0
Area under curve (x-axis between a,b)	$\int_{a}^{b} y d x$	Take absolute value if curve is below x-axis
Volume of revolution (x-axis between a,b)	$V = π \int_{a}^{b} y^{2} d x$	Rotate 360° about x-axis; limits are x-values
Volume of revolution (y-axis between c,d)	$V = π \int_{c}^{d} x^{2} d y$	Rotate 360° about y-axis; limits are y-values

6. 常见问题

考卷提供的公式表中会给出旋转体体积的公式吗？

不会，你需要在考试中熟记公式 $V = π \int y^{2} d x$ （绕x轴旋转）和 $V = π \int x^{2} d y$ （绕y轴旋转），答题时务必注明旋转轴以及积分上下限。

计算曲线下面积时，如果曲线位于x轴下方该如何处理？

如果在你积分的区间内曲线位于x轴下方，定积分的计算结果会是负数。面积是标量，因此你需要取积分结果的绝对值，才能得到正确的面积数值。

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Now that you have mastered core calculus applications for Edexcel IGCSE Further Pure Maths, you can move on to more advanced calculus topics and exam practice. The next subtopic covers rates of change using calculus, which builds on the differentiation and integration skills you have used here. You should also practice past paper questions on this topic to familiarize yourself with exam phrasing and common question structures, as this topic appears frequently in both Paper 1 and Paper 2 of the 4PM1 exam. Make sure you memorize the volume of revolution formulae, as these are not provided on the formula sheet, and practice applying them to a range of curve types including polynomials and trigonometric functions.