按给定比例分割线段的点

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· 8B· 10 分钟阅读

1. 内部分割的分点公式★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

当点将连接点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2})$ 的线段按比例 $m : n$ 内部分割时，我们使用分点公式计算它的坐标。这个公式考试中不会提供，你必须熟记。

📘 定义

分点公式

P\left(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n}\right)

给出将线段AB从A到B按比例 $m : n$ 分割的点P的坐标，其中 $A P : P B = m : n$

例:

对于点A(1, 2)和B(4, 6)，比例1:2得到 $P (\frac{2 * 1 + 1 * 4}{3}, \frac{2 * 2 + 1 * 6}{3}) = (2, \frac{10}{3})$

📐 例题

求将连接A(3, 5)和B(9, 2)的线段按比例2:1分割的点P的坐标，其中 $A P : P B = 2 : 1$ 。

1
确定公式中的值： $x_{1} = 3, y_{1} = 5$ （点A的坐标）， $x_{2} = 9, y_{2} = 2$ （点B的坐标）， $m = 2, n = 1$
2
$x_P = \frac{n x_1 + m x_2}{m + n} = \frac{1*3 + 2*9}{2+1} = \frac{3 + 18}{3} = 7$
3
$y_P = \frac{n y_1 + m y_2}{m + n} = \frac{1*5 + 2*2}{3} = \frac{5 + 4}{3} = 3$
4
点P的坐标为(7, 3)

2. 特殊情况：线段的中点★☆☆☆☆⏱ 2 min

✓ 计算器

线段的中点是将线段按比例1:1分割的点，因此我们可以将 $m = 1$ 和 $n = 1$ 代入分点公式，得到简化的中点公式。

📘 定义

中点公式

M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

给出连接点 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 的线段的中点坐标

例:

点(2, 4)和(6, 8)的中点为 $(\frac{2 + 6}{2}, \frac{4 + 8}{2}) = (4, 6)$

📐 例题

求连接C(-2, 7)和D(4, -3)的线段的中点坐标。

1
确定数值： $x_{1} = - 2, y_{1} = 7$ , $x_{2} = 4, y_{2} = - 3$
2
$x_M = \frac{-2 + 4}{2} = 1$
3
$y_M = \frac{7 + (-3)}{2} = 2$
4
中点M的坐标为(1, 2)

✓ 快速检测

线段的中点对应的比例是多少？
- 1:2
- 2:1
- 1:1
- 3:1
显示答案
2 —
正确！中点将线段分为等长的两部分，因此两段线段的比例为1:1。

3. 求解未知端点或比例★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

你可能会遇到已知分点坐标和一个端点，求另一个端点的题目，或者已知两个端点和分点求比例的题目。你可以对分点公式做变形，求解这些未知量。

📐 例题

点P(5, 3)将连接A(2, 9)和B(x, y)的线段按比例1:2分割（ $A P : P B = 1 : 2$ ），求点B的坐标。

1
将已知值代入x坐标的分点公式： $m = 1, n = 2$ , $x_{1} = 2$ , $x_{P} = 5$
2
$5 = \frac{2*2 + 1*x}{1+2} = \frac{4 + x}{3}$
3
两边同时乘以3： $15 = 4 + x \to x = 11$
4
$Repeat for y-coordinate: $3 = \frac{2*9 + 1*y}{3} = \frac{18 + y}{3}$$
5
两边同时乘以3： $9 = 18 + y \to y = - 9$
6
点B的坐标为(11, -9)

4. 常见陷阱

错误做法:

应用分点公式时交换m和n，例如将m乘第一个点的坐标而不是第二个点的坐标。

原因:

比例 $m : n$ 指的是 $A P : P B$ ，因此m对应靠近第二个端点B的线段，而不是A，如果交换两者，权重就会颠倒。

正确做法:

先标注出比例对应的端点：如果 $A P : P B = m : n$ ，n乘A的坐标，m乘B的坐标，之后再除以 $m + n$ 。

错误做法:

计算坐标时忘记除以 $m + n$ 。

原因:

分点公式是两个端点的加权平均，省略除以比例总份数的步骤会得到错误的缩放后坐标。

正确做法:

计算完x和y坐标的加权和之后，一定要除以 $m + n$ ，即使是中点公式也要除以 $2 = 1 + 1$ 。

错误做法:

当给出的比例是从B到A而不是从A到B时，使用错误的端点顺序。

原因:

如果比例是 $P B : A P = m : n$ 而不是 $A P : P B$ ，m和n的值就会被交换，得到完全错误的坐标。

正确做法:

代入公式前，先把比例明确改写为从第一个命名端点到第二个命名端点的顺序。

错误做法:

假设公式适用于线段AB之外的点。

原因:

4PM1考试中所有比例分割的题目都只考察内部分割，点位于两个端点之间，外部分割不属于考纲内容。

正确做法:

应用标准分点公式前确认分点位于A和B之间，外部分割不会作为考点出现。

5. 速查表

场景	公式	关键说明
点按比例 $m : n$ 分割AB（ $A P : P B = m : n$ ）	$(\frac{n x _{1} + m x _{2}}{m + n}, \frac{n y _{1} + m y _{2}}{m + n})$	A = $(x_{1}, y_{1})$ , B = $(x_{2}, y_{2})$
AB的中点	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$	特殊情况 $m : n = 1 : 1$
求解未知端点/比例	变形公式分离未知量	为x和y坐标分别列独立方程

6. 常见问题

4PM1的公式表中会提供分点公式吗？

不会，所有坐标几何公式包括分点公式都需要在考试前熟记，公式手册中不会给出这些内容。

我怎么记住哪个坐标对应m、哪个对应n？

如果线段AB的比例写为AP:PB = m:n，那么n乘第一个端点A的坐标，m乘第二个端点B的坐标，之后再除以m + n。

深入阅读

official_documentEdexcel IGCSE 进阶纯数学4PM1 考纲说明查阅第8部分获取完整的坐标几何考点要求

下一步

现在你已经掌握了按给定比例求分割点的方法，可以继续学习Edexcel IGCSE 进阶纯数学中其他核心坐标几何主题。下一个主题讲解线段斜率的计算，你可以结合比例分割的知识解决完整的直线几何问题。你也可以通过结构化的考试题练习应用这个公式，在考试前提升解题速度和准确率。请务必完全熟记分点公式，它不会出现在考试公式手册中，考纲第8部分几乎所有坐标几何题目都会用到它。