# 按给定比例分割线段的点

> Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学 · 4PM1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s8-the-point-dividing-a-line/

本指南教你求解按给定比例分割线段的点的坐标，包括中点特殊情况，完全适配Edexcel IGCSE 进阶纯数学4PM1考纲第8B节要求。

**先修:** [能够在笛卡尔坐标系中描点和识别点的位置](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s8-cartesian-coordinates-basics/); 理解比例的记法和化简规则

## 学习目标

- 回忆将线段按给定比例m:n分割的点的分点公式
- 应用该公式求解分点的未知坐标，包括中点这一特殊情况
- 答题时避免比例值和坐标顺序相关的常见错误

## 内部分割的分点公式

当点将连接点$A(x_1, y_1)$和$B(x_2, y_2)$的线段按比例$m:n$内部分割时，我们使用分点公式计算它的坐标。这个公式考试中不会提供，你必须熟记。

**分点公式** — 给出将线段AB从A到B按比例$m:n$分割的点P的坐标，其中$AP:PB = m:n$

*记法:* P\left(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n}\right)

*例:* 对于点A(1, 2)和B(4, 6)，比例1:2得到$P\left(\frac{2*1 + 1*4}{3}, \frac{2*2 + 1*6}{3}\right) = \left(2, \frac{10}{3}\right)$

**例题:** 求将连接A(3, 5)和B(9, 2)的线段按比例2:1分割的点P的坐标，其中$AP:PB = 2:1$。

1. 确定公式中的值：$x_1 = 3, y_1 = 5$（点A的坐标），$x_2 = 9, y_2 = 2$（点B的坐标），$m = 2, n = 1$
2. $$x_P = \frac{n x_1 + m x_2}{m + n} = \frac{1*3 + 2*9}{2+1} = \frac{3 + 18}{3} = 7$$
3. $$y_P = \frac{n y_1 + m y_2}{m + n} = \frac{1*5 + 2*2}{3} = \frac{5 + 4}{3} = 3$$
4. 点P的坐标为(7, 3)

> **tip**
>
> 先标注出比例对应的端点，避免混淆m和n的值：m对应靠近第二个端点B的线段，而不是靠近A的线段。

*计算器:* allowed

## 特殊情况：线段的中点

线段的中点是将线段按比例1:1分割的点，因此我们可以将$m=1$和$n=1$代入分点公式，得到简化的中点公式。

**中点公式** — 给出连接点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$的线段的中点坐标

*记法:* M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

*例:* 点(2, 4)和(6, 8)的中点为$\left(\frac{2+6}{2}, \frac{4+8}{2}\right) = (4, 6)$

**例题:** 求连接C(-2, 7)和D(4, -3)的线段的中点坐标。

1. 确定数值：$x_1 = -2, y_1 = 7$, $x_2 = 4, y_2 = -3$
2. $$x_M = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$
3. $$y_M = \frac{7 + (-3)}{2} = 2$$
4. 中点M的坐标为(1, 2)

**概念自测**

1. 线段的中点对应的比例是多少？

   - 1:2
   - 2:1
   - 1:1
   - 3:1

   *答案:* 1:1

   *解析:* 正确！中点将线段分为等长的两部分，因此两段线段的比例为1:1。

*计算器:* allowed

## 求解未知端点或比例

你可能会遇到已知分点坐标和一个端点，求另一个端点的题目，或者已知两个端点和分点求比例的题目。你可以对分点公式做变形，求解这些未知量。

**例题:** 点P(5, 3)将连接A(2, 9)和B(x, y)的线段按比例1:2分割（$AP:PB = 1:2$），求点B的坐标。

1. 将已知值代入x坐标的分点公式：$m=1, n=2$, $x_1=2$, $x_P=5$
2. $$5 = \frac{2*2 + 1*x}{1+2} = \frac{4 + x}{3}$$
3. 两边同时乘以3：$15 = 4 + x \rightarrow x = 11$
4. $$Repeat for y-coordinate: $3 = \frac{2*9 + 1*y}{3} = \frac{18 + y}{3}$$$
5. 两边同时乘以3：$9 = 18 + y \rightarrow y = -9$
6. 点B的坐标为(11, -9)

> **考试提示**
>
> 考试时间紧张的情况下，也要为每个坐标单独写出完整公式，避免混淆m和n的值。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 应用分点公式时交换m和n，例如将m乘第一个点的坐标而不是第二个点的坐标。
  - 原因: 比例$m:n$指的是$AP:PB$，因此m对应靠近第二个端点B的线段，而不是A，如果交换两者，权重就会颠倒。
  - 正确做法: 先标注出比例对应的端点：如果$AP:PB = m:n$，n乘A的坐标，m乘B的坐标，之后再除以$m+n$。
- **错误做法:** 计算坐标时忘记除以$m + n$。
  - 原因: 分点公式是两个端点的加权平均，省略除以比例总份数的步骤会得到错误的缩放后坐标。
  - 正确做法: 计算完x和y坐标的加权和之后，一定要除以$m + n$，即使是中点公式也要除以$2 = 1+1$。
- **错误做法:** 当给出的比例是从B到A而不是从A到B时，使用错误的端点顺序。
  - 原因: 如果比例是$PB:AP = m:n$而不是$AP:PB$，m和n的值就会被交换，得到完全错误的坐标。
  - 正确做法: 代入公式前，先把比例明确改写为从第一个命名端点到第二个命名端点的顺序。
- **错误做法:** 假设公式适用于线段AB之外的点。
  - 原因: 4PM1考试中所有比例分割的题目都只考察内部分割，点位于两个端点之间，外部分割不属于考纲内容。
  - 正确做法: 应用标准分点公式前确认分点位于A和B之间，外部分割不会作为考点出现。

## 速查表

| 场景 | 公式 | 关键说明 |
| --- | --- | --- |
| 点按比例$m:n$分割AB（$AP:PB = m:n$） | $\left(\frac{n x_1 + m x_2}{m+n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m+n}\right)$ | A = $(x_1, y_1)$, B = $(x_2, y_2)$ |
| AB的中点 | $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ | 特殊情况$m:n = 1:1$ |
| 求解未知端点/比例 | 变形公式分离未知量 | 为x和y坐标分别列独立方程 |

## 下一步

现在你已经掌握了按给定比例求分割点的方法，可以继续学习Edexcel IGCSE 进阶纯数学中其他核心坐标几何主题。下一个主题讲解线段斜率的计算，你可以结合比例分割的知识解决完整的直线几何问题。你也可以通过结构化的考试题练习应用这个公式，在考试前提升解题速度和准确率。请务必完全熟记分点公式，它不会出现在考试公式手册中，考纲第8部分几乎所有坐标几何题目都会用到它。

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