两点间的距离

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· 考纲第8A节· 15 分钟阅读

1. 推导与记忆距离公式★☆☆☆☆⏱ 5 min

笛卡尔平面上两点之间的距离是连接它们的直线段的长度。该公式直接由毕达哥拉斯定理推导而来，其中两点之间的水平和垂直差值构成直角三角形的两条短边。

📘 定义

两点间距离公式

d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}

其中 $d$ 是点 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 之间的距离。你也可以使用平方形式 $d^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}$ ，避免在中间步骤中处理根式。

例:

对于点(1,2)和(4,6)： $d^{2} = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25$ ，因此 $d = 5$ 。

📐 例题

使用点A $(x_{1}, y_{1})$ 和B $(x_{2}, y_{2})$ 推导距离公式。

1
1. 计算两点之间的水平差值： $Δ x = x_{1} - x_{2}$
2
1. 计算两点之间的垂直差值： $Δ y = y_{1} - y_{2}$
3
1. 直线AB构成直角三角形的斜边，两条直角边为 $Δ x$ 和 $Δ y$ 。根据毕达哥拉斯定理：
4
$AB^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$
5
1. 取正平方根（距离始终为正）得到最终公式：
6
$AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

Exam tip:

在考试作答时务必先写出距离公式，这样即使你出现算术错误也能拿到方法分。

2. 计算两点间的精确距离★★☆☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

你需要计算坐标为整数、负数和分数的点之间的距离，除非另有说明，答案保留为最简根式形式。你可以使用计算器验算算术结果，但必须写出全部推导过程以获得满分。

📐 例题

计算点P $(- 2, 5)$ 和Q $(3, - 1)$ 之间的精确距离，答案以最简根式形式给出。

1
1. 标记坐标：令 $x_{1} = - 2, y_{1} = 5$ ， $x_{2} = 3, y_{2} = - 1$ 。
2
1. 代入距离公式：
3
$d = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (5 - (-1))^2}$
4
1. 化简根号内的项：
5
$d = \sqrt{(-5)^2 + (6)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$
6
1. 检查根式是否可化简：61是质数，因此 $61$ 就是最简精确形式。

✓ 快速检测

(0,0)和(3,4)之间的距离是多少？
- 5
- 7
- 25
- \sqrt{7}
显示答案
5 —
正确： $d = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ 。
(1, 2)和(5, 5)之间的精确距离是多少？
- 7
- 5
- \sqrt{7}
- 25
显示答案
5 —
正确： $d = (5 - 1)^{2} + (5 - 2)^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$ 。

Exam tip:

如果题目要求精确距离，不要给出小数近似值：除非明确要求小数形式，否则你会丢失分数。

3. 使用距离求解直线几何问题★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

考试题目中，距离计算经常和其他直线坐标几何概念结合使用，例如求坐标网格上三角形或四边形的边长。

📐 例题

菱形的三个顶点是A $(1, 1)$ 、B $(4, 5)$ 和C $(9, 5)$ ，求边AD的长度。

1
1. 回忆菱形所有边长相等，因此AD的长度等于AB的长度。
2
1. 使用点A和点B的坐标计算AB的距离：
3
$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 -1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} =5$
4
1. 因此AD的长度为5单位。

4. 常见陷阱

错误做法:

忘记对x和y坐标的差值取平方。

原因:

这个算术错误会导致距离值偏小且不正确，丢失准确性分数。

正确做法:

先写出公式，再代入数值，在推导过程中明确展示平方步骤。

错误做法:

将负平方根作为最终距离答案。

原因:

距离是标量，始终为正，因此负值无效。

正确做法:

从d²计算d时，始终取正平方根。

错误做法:

未化简根式答案，例如写出\sqrt{18}而不是3\sqrt{2}。

原因:

要求精确答案的考试题期望根式为最简形式才能获得满分。

正确做法:

在写出最终答案之前，对根号下的数字进行因式分解，提取所有完全平方因子。

错误做法:

代入公式时混淆x和y坐标，例如使用(x1 - y1)而不是(x1 -x2)。

原因:

这会导致计算完全错误，同时丢失方法分和准确性分。

正确做法:

代入公式前清晰标记坐标为x1、y1和x2、y2，并二次检查你的代入操作。

5. 速查表

公式	说明	考试提醒
$d = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}$	x1/x2和y1/y2的顺序不影响结果	需要自行记忆公式，公式表中不提供
$d^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}$	在中间步骤使用平方形式，避免过早引入根式	最终距离必须给出正值
最简根式答案	从根号下提取完全平方因子	除非要求小数，否则必须给出精确答案

6. 常见问题

Edexcel 4PM1公式表中提供距离公式吗？

不提供。所有坐标几何公式，包括两点间的距离公式，都需要你在考试中自行记忆。

考试中我需要化简距离答案吗？

是的。如果你的距离是根式，除非题目明确要求小数近似值，否则你必须给出最简精确形式。

深入阅读

formula_sheetEdexcel 4PM1 官方公式表列出4PM1考试提供的所有公式；距离公式不在其中

下一步

现在你已经可以计算笛卡尔两点间的距离，你可以继续学习Edexcel 4PM1直角笛卡尔坐标系单元的后续主题。接下来你将学习求按给定比例分割线段的点的坐标，然后计算两点之间直线的斜率。这些基础技能将帮助你掌握直线方程的写法，以及解决涉及平行线和垂直线的问题，这些都是4PM1考试中的高频考题。先掌握距离公式会让后续主题更容易理解，因为它们都依赖于对平面上两点坐标差值的运算。