利用向量证明几何性质

Q: 证明平行线时我需要明确写出数乘系数吗？

是的，爱德思考试阅卷官要求你写出准确的数乘系数值（例如）才能在平行证明中拿到满分，不能仅说明两条直线平行。

爱德思国际GCSE进阶纯数学· 7F· 25 分钟阅读

1. 利用向量证明平行线★★☆☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

📘 定义

平行向量

如果两个向量中的一个是另一个的非零数乘，则这两个向量平行。若存在非零常数 $λ \in R$ 满足 $A B = λ C D$ ，则直线AB与直线CD平行。

📐 例题

点A、B、C、D的位置向量分别为 $a = (13)$ 、 $b = (57)$ 、 $c = (2 - 2)$ 、 $d = (84)$ 。证明直线AB与直线CD平行。

1
利用位置向量规则计算向量 $A B$ ：
$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix}5-1 \\7-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\4\end{pmatrix}$
2
计算向量 $C D$ ：
$\overrightarrow{CD} = \mathbf{d} - \mathbf{c} = \begin{pmatrix}8-2 \\4 - (-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\6\end{pmatrix}$
3
确定两个向量之间的数乘关系：
$\overrightarrow{CD} = 1.5 \times \overrightarrow{AB}$
4
由于 $C D$ 是 $A B$ 的非零数乘，因此直线AB与直线CD平行。

Exam tip:

在证明过程中务必明确写出数乘系数值，不要跳过这一步，这是拿到满分的必要要求。

2. 证明三点共线★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

共线点

如果点对之间的两个向量拥有公共点且互相平行，则三个或更多点位于同一条直线上（共线）。

📐 例题

点P、Q、R的位置向量分别为 $p = (21)$ 、 $q = (63)$ 、 $r = (126)$ 。证明P、Q、R三点共线。

1
计算向量 $P Q$ ：
$\overrightarrow{PQ} = \mathbf{q} - \mathbf{p} = \begin{pmatrix}6-2 \\3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\2\end{pmatrix}$
2
计算向量 $QR$ ：
$\overrightarrow{QR} = \mathbf{r} - \mathbf{q} = \begin{pmatrix}12-6 \\6-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\3\end{pmatrix}$
3
确认平行关系：
$\overrightarrow{QR} = 1.5 \times \overrightarrow{PQ}$
4
说明公共点：向量 $P Q$ 和 $QR$ 共享点Q，因此P、Q、R位于同一条直线上，三点共线。

Exam tip:

在共线证明中千万不要忘记提及公共点，仅证明平行关系只能拿到一半分数。

3. 将线段按比例m:n分割的点的位置向量★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

分点公式（内分比例分割）

若点M将连接A（位置向量 $a$ ）和B（位置向量 $b$ ）的线段按比例 $m : n$ （即 $A M : M B = m : n$ ）分割，则M的位置向量为 $m = \frac{n a + m b}{m + n}$ 。

📐 例题

点K将连接A(1, 5)和B(7, 2)的线段按比例2:1分割，求K的位置向量。

1
确定公式所需的数值： $m = 2$ , $n = 1$ , $a = (15)$ , $b = (72)$
2
代入分点公式：
$\mathbf{k} = \frac{1\times\begin{pmatrix}1 \\5\end{pmatrix} + 2\times\begin{pmatrix}7 \\2\end{pmatrix}}{2+1} = \frac{\begin{pmatrix}1 + 14 \\5 +4\end{pmatrix}}{3}$
3
化简得到最终的位置向量：
$\mathbf{k} = \begin{pmatrix}5 \\3\end{pmatrix}$

Exam tip:

分点公式不会出现在4PM1的公式表中，你必须熟记该公式。注意比例值是互换的： $a$ 的乘数是比例中的第二个值， $b$ 的乘数是比例中的第一个值。

4. 直线共点性证明★★★★☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

共点直线

若三条或更多条直线全部经过同一个公共交点，则称它们为共点直线。

📐 例题

在三角形ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，证明直线AE、BF、CD共点（交于重心）。

1
设A、B、C的位置向量分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，写出各中点的位置向量：
2
$\mathbf{e} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{2}, \mathbf{f} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{c}}{2}, \mathbf{d} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2}$
3
写出直线AE的参数方程（标量参数为t）：
$\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\left(\frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{2} - \mathbf{a}\right) = (1-t)\mathbf{a} + \frac{t}{2}\mathbf{b} + \frac{t}{2}\mathbf{c}$
4
写出直线BF的参数方程（标量参数为s）：
$\mathbf{r} = \mathbf{b} + s\left(\frac{\mathbf{a} + \mathbf{c}}{2} - \mathbf{b}\right) = \frac{s}{2}\mathbf{a} + (1-s)\mathbf{b} + \frac{s}{2}\mathbf{c}$
5
将 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的系数对应相等并求解： $1 - t = s /2$ , $t /2 = 1 - s$ , $t /2 = s /2$ ，可得 $t = s = 2/3$
6
代回原式得到公共交点：
$\mathbf{r} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}}{3}$
7
验证该点同样满足CD的参数方程，因此三条直线都经过同一点，即它们共点。

Exam tip:

对于共点性证明，你仅需证明三条直线存在公共点：为每条直线写出参数方程，求解得到匹配的标量参数即可。

5. 常见陷阱

错误做法:

Proving collinearity only by showing two vectors are parallel, no mention of a common point

原因:

Parallel vectors can lie on separate non-intersecting lines, so you cannot confirm collinearity without a shared point

正确做法:

After proving parallelism, explicitly state the common point (e.g. "Vectors PQ and QR share point Q, so P, Q, R are collinear")

错误做法:

Flipping the ratio in the section formula, using $\frac{m a + n b}{m + n}$ for ratio $A M : M B = m : n$

原因:

The formula weights the opposite end of the segment to the ratio value, so flipping gives the wrong point

正确做法:

For $A M : M B = m : n$ , use $\frac{n a + m b}{m + n}$ , or verify by calculating distances if you are unsure

错误做法:

Omitting the scalar multiple value when proving parallel lines

原因:

Exam markers require explicit evidence of the scalar multiple relation to award full marks

正确做法:

Write the exact scalar value e.g. $C D = 2 A B$ to clearly demonstrate parallelism

错误做法:

Using dot product to prove perpendicularity or angles in vector proofs

原因:

Dot product is explicitly out of scope for the 4PM1 specification for this topic

正确做法:

Restrict all proofs to parallelism, collinearity, concurrency, and ratio division as specified

错误做法:

Assuming a ratio is externally divided when it is not specified

原因:

Only internal ratio division is examined in 4PM1, external division is out of scope

正确做法:

Use the standard internal section formula for all ratio questions, and confirm the point lies between the two endpoints if needed

6. 速查表

Geometric Property	Vector Proof Method	Key Formula/Check
Parallel lines	Show one vector is non-zero scalar multiple of the other	$A B = λ C D, λ \neq = 0$
Collinear points	Show two vectors between pairs are parallel + share common point	Common point + scalar multiple relation
Ratio division (m:n)	Apply internal section formula	$r = \frac{n a + m b}{m + n}$
Concurrent lines	Show all lines pass through the same common intersection point	Common point satisfies parametric equation of all lines

7. 常见问题

证明平行线时我需要明确写出数乘系数吗？

是的，爱德思考试阅卷官要求你写出准确的数乘系数值（例如 $C D = 1.5 A B$ ）才能在平行证明中拿到满分，不能仅说明两条直线平行。

在4PM1的向量几何证明中我可以使用点积吗？

不可以，点积明确超出该考纲范围。所有证明仅可使用数乘、位置向量运算、共线与共点相关规则。

平行线和共线点的区别是什么？

平行线不需要拥有公共点，而共线点需要同时满足两个向量平行且拥有公共点，才能证明它们位于同一条直线上。

深入阅读

formula_sheet爱德思4PM1官方公式表分点公式不在提供范围内，必须自行熟记

下一步

Now that you have mastered vector proofs for geometric properties, you are ready to practice applying these skills to past paper questions, which often combine ratio division and proof tasks in mixed context problems. These vector rules are frequently paired with coordinate geometry questions in the 4PM1 exam, so reinforcing your coordinate geometry foundations will help you tackle longer multi-step questions efficiently. Make sure you memorize the section formula, as it is not provided on the formula sheet and is tested in almost every vector topic exam paper. You should also practice writing clear, step-by-step proofs that explicitly state all required reasoning (e.g. scalar multiples, common points) to avoid losing marks for incomplete working.