单位向量

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· S7章节，7E节· 8 分钟阅读

1. 什么是单位向量？★☆☆☆☆⏱ 2 min

📘 定义

单位向量

â

模长恰好为1，与给定非零向量 $a$ 指向完全相同方向的向量

例:

若 $a = (34)$ ，则 $\overset{a}{^}$ 与 $a$ 方向相同，且长度为1。

单位向量将方向信息从向量长度中分离出来，可用于解决多种向量几何问题。唯一不存在对应单位向量的向量是零向量，因为它没有定义的方向，且除以零是无意义的。

2. 使用标准公式计算单位向量★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

考试要求你熟记单位向量公式。任意非零向量 $a$ 方向上的单位向量公式为：

â = \frac{\textbf{a}}{|\textbf{a}|}

使用该公式的步骤：首先计算给定向量的模长，然后将向量的每个分量除以该模长。将结果化简为精确形式，必要时有理化分母。

📐 例题

求向量 $b = (12)$ 方向上的单位向量，以最简精确形式给出答案。

1
步骤1：计算向量 $b$ 的模长
2
$|\textbf{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
3
步骤2：将 $b$ 的每个分量除以它的模长，得到单位向量
4
$\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$
5
步骤3：有理化分母，得到最简形式
6
$\hat{u} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{5}}{5}\\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{pmatrix}$

Exam tip:

阅卷官会为正确的模长计算、正确的分量除法、以及最简最终形式分别给分，所以请明确写出全部三个步骤。

3. 单位向量综合考试题型★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

在考试中，单位向量题目通常会和其他基础向量运算（比如加法或减法）结合出现。请务必先完成所有中间向量运算得到合向量，再计算它的单位向量。

📐 例题

已知 $p = (2 - 1)$ 和 $q = (13)$ ，求 $p + q$ 方向上的单位向量，以最简精确形式给出答案。

1
步骤1：首先计算合向量 $p + q$
2
$\textbf{p} + \textbf{q} = \begin{pmatrix}2 + 1\\-1 + 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$
3
步骤2：计算合向量的模长
4
$|\textbf{p} + \textbf{q}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$
5
步骤3：将每个分量除以模长，再有理化
6
$\hat{(\textbf{p} + \textbf{q})} = \begin{pmatrix}\frac{3\sqrt{13}}{13}\\frac{2\sqrt{13}}{13}\end{pmatrix}$

✓ 快速检测

任意有效单位向量的模长是多少？
- 0
- 1
- 取决于原向量
- 2
显示答案
1 —
正确！所有单位向量的模长固定为1，和它由哪个原向量推导而来无关。
若向量 $c$ 的模长为6，你需要将 $c$ 乘以什么系数才能得到它的单位向量？
- 6
- 1
- $\frac{1}{6}$
- $6$
显示答案
$\frac{1}{6}$ —
正确！你将向量除以它的模长，等价于乘以模长的倒数。

4. 常见陷阱

错误做法:

用模长除以向量，而不是用向量除以模长

原因:

这颠倒了运算，得到的向量模长等于原向量模长的平方，而不是1

正确做法:

每道单位向量题开始时先写下公式 $\overset{a}{^} = \frac{a}{∣ a ∣}$ ，避免混淆。

错误做法:

最终答案中忘记有理化带根式的分母

原因:

Edexcel阅卷官要求精确最简形式，未有理化的分母会导致你丢失最终的精度分数

正确做法:

除以模长之后，在写出最终答案之前，务必将所有分母带根式的分数有理化。

错误做法:

在完成加法/减法等中间向量运算之前就计算单位向量

原因:

单位向量需要指向最终合向量的方向，而不是原先的独立向量的方向

正确做法:

先完成所有要求的向量运算得到合向量，再计算它的模长和单位向量。

错误做法:

尝试为零向量计算单位向量

原因:

零向量的模长为0，因此除以零是无定义的，且它没有固定方向

正确做法:

如果题目给出零向量，请明确说明不存在对应的单位向量。

5. 速查表

任务	公式	关键步骤
求 $a$ 方向上的单位向量	$\overset{a}{^} = \frac{a}{∣ a ∣}$	计算 $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$ 2. 将 $a$ 的每个分量除以 $∣ a ∣$ 3. 有理化分母
验证单位向量是否正确	校验模长等于1	计算你得到结果的模长；如果模长等于1，说明你的计算是正确的

6. 常见问题

如何检验我算出的向量是不是单位向量？

计算它的模长：如果结果恰好为1，那么该向量就是有效的单位向量。这是你在考试中可以快速使用的校验方法，避免出错。

单位向量的最终答案需要有理化分母吗？

是的，Edexcel 阅卷官要求答案为精确最简形式，因此你必须将最终答案中所有带根式的分母有理化，才能拿到全部分数。

深入阅读

syllabusEdexcel 4PM1 官方考纲S7向量章节完整备考指南

下一步

现在你已经掌握了单位向量的计算方法，可以继续学习Edexcel IGCSE进阶纯数考试S7章节中更进阶的向量主题了。单位向量是后续向量应用的基础技能，包括位置向量几何和运动学问题，这些题型在高阶4PM1试卷中出现频率很高。请练习混合的单位向量独立题，以及单位向量和向量加法、减法、位置向量结合的题目，建立考试信心。请务必写出全部运算步骤，因为即使你的最终答案错误，正确的中间计算过程也能拿到步骤分。