# 单位向量

> Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学 · 4PM1 (2016考纲，高阶)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s7-unit-vector/

本指南涵盖Edexcel IGCSE进阶纯数（4PM1）S7章节的单位向量计算内容。你将学习标准单位向量公式，并练习将其应用于考试风格的二维向量题目中。

**先修:** [计算二维向量的模长](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s7-magnitude-of-vector/); [二维向量的分量形式](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s7-vector-component-form/)

## 学习目标

- 定义单位向量的核心性质
- 使用公式 $\frac{\textbf{a}}{|\textbf{a}|}$ 计算任意给定二维向量方向上的单位向量
- 应用单位向量规则解答结合向量运算的考试题型

## 什么是单位向量？

**单位向量** — 模长恰好为1，与给定非零向量$\textbf{a}$指向完全相同方向的向量

*记法:* â

*例:* 若$\textbf{a} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$，则$â$与$\textbf{a}$方向相同，且长度为1。

单位向量将方向信息从向量长度中分离出来，可用于解决多种向量几何问题。唯一不存在对应单位向量的向量是零向量，因为它没有定义的方向，且除以零是无意义的。

> **tip**
>
> 即使题目没有要求，也请务必通过校验模长是否等于1来验证你的单位向量计算结果。这可以排查90%的常见单位向量计算错误。

## 使用标准公式计算单位向量

考试要求你熟记单位向量公式。任意非零向量$\textbf{a}$方向上的单位向量公式为：

$$â = \frac{\textbf{a}}{|\textbf{a}|}$$

使用该公式的步骤：首先计算给定向量的模长，然后将向量的每个分量除以该模长。将结果化简为精确形式，必要时有理化分母。

**例题:** 求向量$\textbf{b} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$方向上的单位向量，以最简精确形式给出答案。

1. 步骤1：计算向量$\textbf{b}$的模长
2. $$|\textbf{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$
3. 步骤2：将$\textbf{b}$的每个分量除以它的模长，得到单位向量
4. $$\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$$
5. 步骤3：有理化分母，得到最简形式
6. $$\hat{u} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{5}}{5}\\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{pmatrix}$$

> **考试提示:** 阅卷官会为正确的模长计算、正确的分量除法、以及最简最终形式分别给分，所以请明确写出全部三个步骤。

*计算器:* allowed

## 单位向量综合考试题型

在考试中，单位向量题目通常会和其他基础向量运算（比如加法或减法）结合出现。请务必先完成所有中间向量运算得到合向量，再计算它的单位向量。

**例题:** 已知$\textbf{p} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$和$\textbf{q} = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$，求$\textbf{p} + \textbf{q}$方向上的单位向量，以最简精确形式给出答案。

1. 步骤1：首先计算合向量$\textbf{p} + \textbf{q}$
2. $$\textbf{p} + \textbf{q} = \begin{pmatrix}2 + 1\\-1 + 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$$
3. 步骤2：计算合向量的模长
4. $$|\textbf{p} + \textbf{q}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$$
5. 步骤3：将每个分量除以模长，再有理化
6. $$\hat{(\textbf{p} + \textbf{q})} = \begin{pmatrix}\frac{3\sqrt{13}}{13}\\frac{2\sqrt{13}}{13}\end{pmatrix}$$

**概念自测**

1. 任意有效单位向量的模长是多少？

   - 0
   - 1
   - 取决于原向量
   - 2

   *解析:* 正确！所有单位向量的模长固定为1，和它由哪个原向量推导而来无关。

2. 若向量$\textbf{c}$的模长为6，你需要将$\textbf{c}$乘以什么系数才能得到它的单位向量？

   - 6
   - 1
   - $\frac{1}{6}$
   - $\sqrt{6}$

   *解析:* 正确！你将向量除以它的模长，等价于乘以模长的倒数。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 用模长除以向量，而不是用向量除以模长
  - 原因: 这颠倒了运算，得到的向量模长等于原向量模长的平方，而不是1
  - 正确做法: 每道单位向量题开始时先写下公式$â = \frac{\textbf{a}}{|\textbf{a}|}$，避免混淆。
- **错误做法:** 最终答案中忘记有理化带根式的分母
  - 原因: Edexcel阅卷官要求精确最简形式，未有理化的分母会导致你丢失最终的精度分数
  - 正确做法: 除以模长之后，在写出最终答案之前，务必将所有分母带根式的分数有理化。
- **错误做法:** 在完成加法/减法等中间向量运算之前就计算单位向量
  - 原因: 单位向量需要指向最终合向量的方向，而不是原先的独立向量的方向
  - 正确做法: 先完成所有要求的向量运算得到合向量，再计算它的模长和单位向量。
- **错误做法:** 尝试为零向量计算单位向量
  - 原因: 零向量的模长为0，因此除以零是无定义的，且它没有固定方向
  - 正确做法: 如果题目给出零向量，请明确说明不存在对应的单位向量。

## 速查表

| 任务 | 公式 | 关键步骤 |
| --- | --- | --- |
| 求$\textbf{a}$方向上的单位向量 | $â = \frac{\textbf{a}}{\|\textbf{a}\|}$ | 1. 计算$\|\textbf{a}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ 2. 将$\textbf{a}$的每个分量除以$\|\textbf{a}\|$ 3. 有理化分母 |
| 验证单位向量是否正确 | 校验模长等于1 | 计算你得到结果的模长；如果模长等于1，说明你的计算是正确的 |

## 下一步

现在你已经掌握了单位向量的计算方法，可以继续学习Edexcel IGCSE进阶纯数考试S7章节中更进阶的向量主题了。单位向量是后续向量应用的基础技能，包括位置向量几何和运动学问题，这些题型在高阶4PM1试卷中出现频率很高。请练习混合的单位向量独立题，以及单位向量和向量加法、减法、位置向量结合的题目，建立考试信心。请务必写出全部运算步骤，因为即使你的最终答案错误，正确的中间计算过程也能拿到步骤分。

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