向量的分量与分解量

爱德思国际GCSE进阶纯数学· S7 7B· 12 分钟阅读

1. 使用i和j基单位表示向量的分量形式★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

📘 定义

分量形式

向量的分量形式写作 $a i + b j$ ，其中 $a$ 是向量起点到终点的水平位移， $b$ 是向量起点到终点的竖直位移。 $i$ 是沿x轴正方向的单位向量（大小为1）， $j$ 是沿y轴正方向的单位向量。

例:

A vector that moves 3 units right and 2 units up is written as $3 i + 2 j$

如果已知向量起点和终点的坐标，用终点坐标减去起点坐标即可得到i分量和j分量。对于从点 $(x_{1}, y_{1})$ 指向点 $(x_{2}, y_{2})$ 的向量：i分量为 $x_{2} - x_{1}$ ，j分量为 $y_{2} - y_{1}$ 。

📐 例题

求从点 $P (2, 5)$ 指向点 $Q (- 1, 7)$ 的向量的分量形式。

1
步骤1：计算水平i分量：用Q点的x坐标减去P点的x坐标。
2
$i\text{ component} = x_Q - x_P = -1 - 2 = -3$
3
步骤2：计算竖直j分量：用Q点的y坐标减去P点的y坐标。
4
$j\text{ component} = y_Q - y_P = 7 - 5 = 2$
5
步骤3：合并分量，写出最终的向量表达式。
6
$\overrightarrow{PQ} = -3\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$

Exam tip:

务必反复核对向量的方向：如果你要计算从点P到点Q的向量，需要用Q的坐标减去P的坐标，不可颠倒，这是非常常见的符号错误。

2. 向量分解量的计算★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

📘 定义

向量的分解量

$V_{x} = V cos θ$ , $V_{y} = V sin θ$

大小为 $V$ 、与x轴正方向夹角为 $θ$ 的向量，其分解量就是该向量的水平（x轴）和竖直（y轴）标量分量。

除非另有说明，角度 $θ$ 一律从水平x轴正方向沿逆时针方向计量。如果向量指向x轴下方， $θ$ 将为负值，你也可以直接给竖直分量添加负号。如果给定的角度是相对于y轴的，则对应分量的正弦和余弦需要互换。

📐 例题

一个力向量的大小为12 N，作用方向与x轴正方向成40°仰角。求它的水平和竖直分解量，并以i-j形式写出该向量，结果保留两位小数。

1
步骤1：整理已知条件：向量大小 $V = 12$ ，夹角 $θ = 4 0^{\circ}$ 。
2
步骤2：使用公式 $V_{x} = V cos θ$ 计算水平分解量。
3
$V_x = 12 \times \cos(40^\circ) = 12 \times 0.7660 = 9.19 \text{ (2 d.p.)}$
4
步骤3：使用公式 $V_{y} = V sin θ$ 计算竖直分解量。
5
$V_y = 12 \times \sin(40^\circ) = 12 \times 0.6428 = 7.71 \text{ (2 d.p.)}$
6
步骤4：写出该向量的分量形式。
7
$9.19\mathbf{i} + 7.71\mathbf{j} \text{ N}$

3. 向量分量的合并★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

当你已知两个或多个向量时，可以将它们对应的i分量和j分量分别相加，得到合向量。这项技能是你在4PM1考试中遇到的所有更复杂向量计算的基础。

📐 例题

已知两个向量： $a = 4 i - 2 j$ 和 $b = - 1 i + 5 j$ 。求合向量 $a + b$ 的分量形式。

1
步骤1：将两个向量的i分量相加。
2
$\text{Total i component} = 4 + (-1) = 3$
3
步骤2：将两个向量的j分量相加。
4
$\text{Total j component} = -2 + 5 = 3$
5
步骤3：写出合向量。
6
$\mathbf{a} + \mathbf{b} = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$

✓ 快速检测

A vector of magnitude 10 acts at 30° below the positive x-axis. What is its j component?
- $5 j$
- $- 5 j$
- $53 j$
- $- 53 j$
显示答案
1 —
The angle below the x-axis means the vertical component is negative: $10 \times sin (- 3 0^{\circ}) = - 10 \times 0.5 = - 5$ , so the j component is $- 5 j$ .

4. 常见陷阱

错误做法:

Subtracting end coordinates from start coordinates when calculating a vector between two points

原因:

This reverses the direction of the vector, leading to incorrect sign values for both i and j components

正确做法:

Always subtract the coordinates of the starting point from the coordinates of the end point of the vector

错误做法:

Using sine for the horizontal component and cosine for the vertical component when angle is measured from the x-axis

原因:

The horizontal component is adjacent to the angle with the x-axis so uses cosine, while the vertical is opposite so uses sine

正确做法:

Remember: adjacent = hypotenuse × cos(theta) for horizontal x-component, opposite = hypotenuse × sin(theta) for vertical y-component when angle is measured from x-axis

错误做法:

Forgetting to add a negative sign to components when the vector points left or down relative to the positive axes

原因:

This leads to overestimating or misplacing the direction of the resultant vector in calculations

正确做法:

Assign negative values to i components for leftward displacements, and negative j components for downward displacements

错误做法:

Using radian mode on the calculator when calculating cosine and sine of angles given in degrees

原因:

All Edexcel 4PM1 vector questions use angles in degrees, so radian mode will give incorrect component values

正确做法:

Always check your calculator is set to degree mode before starting any vector component calculation in the exam

5. 速查表

Task	Formula / Rule	Example
Write vector between (x1,y1) and (x2,y2) in i-j form	$(x 2 - x 1) i + (y 2 - y 1) j$	From (1,2) to (4,6): $3 i + 4 j$
Find horizontal resolved part of magnitude V at angle θ to +x axis	$V_{x} = V cos θ$	V=20, θ=30°: $V_{x} = 20 cos 30° = 103$
Find vertical resolved part of magnitude V at angle θ to +x axis	$V_{y} = V sin θ$	V=20, θ=30°: $V_{y} = 20 sin 30° = 10$
Add two vectors in component form	Add i components, add j components separately	$(2 i + 3 j) + (4 i - 1 j) = 6 i + 2 j$

6. 常见问题

在向量分量相关题目中，角度需要使用角度制吗？

是的，爱德思4PM1考试中所有分解量相关的角度均以角度为单位，除非题目明确说明使用其他单位。在开始计算前请务必确认你的计算器已设置为角度模式。

如果向量的方向在x轴正方向的下方该怎么处理？

此时竖直分解量为负值，你可以直接在j分量前添加负号，也可以在正弦计算中代入负角度值，自动得到正确的符号。

下一步

Now that you can express vectors in i-j component form and calculate their resolved parts, you are ready to move on to calculating the magnitude of vectors, the next core skill in the vectors unit for Edexcel IGCSE Further Pure Maths. You will also use component form extensively when working with position vectors, and later when solving problems involving forces and kinematics using vectors. Mastering component calculations now will save you time and reduce errors in more complex vector problems that appear frequently in both Paper 1 and Paper 2 of the 4PM1 exam.