# 向量的分量与分解量

> 爱德思国际GCSE进阶纯数学 · 4PM1 2016年考纲（高阶）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s7-components-and-resolved-parts-of/

本指南将教授你使用i和j基单位表示二维向量、计算向量的水平与竖直分解量、合并分量值的相关内容，完全匹配爱德思4PM1进阶纯数IGCSE考纲要求。

**先修:** [掌握基础向量定义，能够区分标量与向量](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s7-vector-algebra/); 熟练掌握直角三角形三角函数（角度的正弦、余弦运算）

## 学习目标

- 正确以i-j分量形式表示二维向量
- 已知向量的大小与方向，计算其水平与竖直分解量
- 合并向量分量，准确求解合向量

## 使用i和j基单位表示向量的分量形式

**分量形式** — 向量的分量形式写作$a\mathbf{i} + b\mathbf{j}$，其中$a$是向量起点到终点的水平位移，$b$是向量起点到终点的竖直位移。$\mathbf{i}$是沿x轴正方向的单位向量（大小为1），$\mathbf{j}$是沿y轴正方向的单位向量。

*例:* A vector that moves 3 units right and 2 units up is written as $3\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$

如果已知向量起点和终点的坐标，用终点坐标减去起点坐标即可得到i分量和j分量。对于从点$(x_1, y_1)$指向点$(x_2, y_2)$的向量：i分量为$x_2 - x_1$，j分量为$y_2 - y_1$。

**例题:** 求从点$P(2, 5)$指向点$Q(-1, 7)$的向量的分量形式。

1. 步骤1：计算水平i分量：用Q点的x坐标减去P点的x坐标。
2. $$i\text{ component} = x_Q - x_P = -1 - 2 = -3$$
3. 步骤2：计算竖直j分量：用Q点的y坐标减去P点的y坐标。
4. $$j\text{ component} = y_Q - y_P = 7 - 5 = 2$$
5. 步骤3：合并分量，写出最终的向量表达式。
6. $$\overrightarrow{PQ} = -3\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$$

> **考试提示:** 务必反复核对向量的方向：如果你要计算从点P到点Q的向量，需要用Q的坐标减去P的坐标，不可颠倒，这是非常常见的符号错误。

*计算器:* allowed

## 向量分解量的计算

**向量的分解量** — 大小为$V$、与x轴正方向夹角为$\theta$的向量，其分解量就是该向量的水平（x轴）和竖直（y轴）标量分量。

*记法:* $V_x = V\cos\theta$, $V_y = V\sin\theta$

除非另有说明，角度$\theta$一律从水平x轴正方向沿逆时针方向计量。如果向量指向x轴下方，$\theta$将为负值，你也可以直接给竖直分量添加负号。如果给定的角度是相对于y轴的，则对应分量的正弦和余弦需要互换。

**例题:** 一个力向量的大小为12 N，作用方向与x轴正方向成40°仰角。求它的水平和竖直分解量，并以i-j形式写出该向量，结果保留两位小数。

1. 步骤1：整理已知条件：向量大小$V=12$，夹角$\theta=40^\circ$。
2. 步骤2：使用公式$V_x = V\cos\theta$计算水平分解量。
3. $$V_x = 12 \times \cos(40^\circ) = 12 \times 0.7660 = 9.19 \text{ (2 d.p.)}$$
4. 步骤3：使用公式$V_y = V\sin\theta$计算竖直分解量。
5. $$V_y = 12 \times \sin(40^\circ) = 12 \times 0.6428 = 7.71 \text{ (2 d.p.)}$$
6. 步骤4：写出该向量的分量形式。
7. $$9.19\mathbf{i} + 7.71\mathbf{j} \text{ N}$$

> **tip**
>
> 如果给定的角度是x轴负方向上方40°，你既可以代入$\theta = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$进行计算，也可以直接给水平分量添加负号，避免出错。

*计算器:* allowed

## 向量分量的合并

当你已知两个或多个向量时，可以将它们对应的i分量和j分量分别相加，得到合向量。这项技能是你在4PM1考试中遇到的所有更复杂向量计算的基础。

**例题:** 已知两个向量：$\mathbf{a} = 4\mathbf{i} - 2\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{b} = -1\mathbf{i} + 5\mathbf{j}$。求合向量 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ 的分量形式。

1. 步骤1：将两个向量的i分量相加。
2. $$\text{Total i component} = 4 + (-1) = 3$$
3. 步骤2：将两个向量的j分量相加。
4. $$\text{Total j component} = -2 + 5 = 3$$
5. 步骤3：写出合向量。
6. $$\mathbf{a} + \mathbf{b} = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$$

**概念自测**

1. A vector of magnitude 10 acts at 30° below the positive x-axis. What is its j component?

   - $5\mathbf{j}$
   - $-5\mathbf{j}$
   - $5\sqrt{3}\mathbf{j}$
   - $-5\sqrt{3}\mathbf{j}$

   *答案:* $-5\mathbf{j}$

   *解析:* The angle below the x-axis means the vertical component is negative: $10 \times \sin(-30^\circ) = -10 \times 0.5 = -5$, so the j component is $-5\mathbf{j}$.

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** Subtracting end coordinates from start coordinates when calculating a vector between two points
  - 原因: This reverses the direction of the vector, leading to incorrect sign values for both i and j components
  - 正确做法: Always subtract the coordinates of the starting point from the coordinates of the end point of the vector
- **错误做法:** Using sine for the horizontal component and cosine for the vertical component when angle is measured from the x-axis
  - 原因: The horizontal component is adjacent to the angle with the x-axis so uses cosine, while the vertical is opposite so uses sine
  - 正确做法: Remember: adjacent = hypotenuse × cos(theta) for horizontal x-component, opposite = hypotenuse × sin(theta) for vertical y-component when angle is measured from x-axis
- **错误做法:** Forgetting to add a negative sign to components when the vector points left or down relative to the positive axes
  - 原因: This leads to overestimating or misplacing the direction of the resultant vector in calculations
  - 正确做法: Assign negative values to i components for leftward displacements, and negative j components for downward displacements
- **错误做法:** Using radian mode on the calculator when calculating cosine and sine of angles given in degrees
  - 原因: All Edexcel 4PM1 vector questions use angles in degrees, so radian mode will give incorrect component values
  - 正确做法: Always check your calculator is set to degree mode before starting any vector component calculation in the exam

## 速查表

| Task | Formula / Rule | Example |
| --- | --- | --- |
| Write vector between (x1,y1) and (x2,y2) in i-j form | $(x2-x1)\mathbf{i} + (y2-y1)\mathbf{j}$ | From (1,2) to (4,6): $3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$ |
| Find horizontal resolved part of magnitude V at angle θ to +x axis | $V_x = V\cos\theta$ | V=20, θ=30°: $V_x = 20\cos30° = 10\sqrt{3}$ |
| Find vertical resolved part of magnitude V at angle θ to +x axis | $V_y = V\sin\theta$ | V=20, θ=30°: $V_y = 20\sin30° = 10$ |
| Add two vectors in component form | Add i components, add j components separately | $(2\mathbf{i} + 3\mathbf{j}) + (4\mathbf{i} - 1\mathbf{j}) = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$ |

## 下一步

Now that you can express vectors in i-j component form and calculate their resolved parts, you are ready to move on to calculating the magnitude of vectors, the next core skill in the vectors unit for Edexcel IGCSE Further Pure Maths. You will also use component form extensively when working with position vectors, and later when solving problems involving forces and kinematics using vectors. Mastering component calculations now will save you time and reduce errors in more complex vector problems that appear frequently in both Paper 1 and Paper 2 of the 4PM1 exam.

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