向量的加法、减法与数乘运算

Q: 本主题需要使用i,j分量记法吗？

不需要，i,j分量记法将在S7T02中单独讲解。根据4PM1考纲要求，本主题仅使用粗体/下划线向量记法和几何表示。

Q: 等系数法则可以应用于任意两个向量吗？

不可以，该法则仅适用于非平行向量。平行向量可以表示为彼此的数乘倍数，因此存在无穷多组系数解。

爱德思国际GCSE进阶纯数学· S7部分，考纲7A· 20 分钟阅读

1. 向量加法与减法（几何法则）★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

📘 定义

向量加法三角形法则

将两个向量a和b相加时，把b的起点放在a的终点上。所得的合向量a + b从a的起点指向b的终点。

例:

If you walk 3m east (a) then 4m north (b), your resultant displacement is a + b = 5m north-east.

📐 例题

已知向量p（水平向右2单位）和向量q（竖直向上1单位），使用三角形法则求合向量p + q。

1
绘制长度为2单位、指向右方的水平箭头表示p。
2
将q的起点放在p的终点上，绘制长度为1单位、指向上方的竖直箭头表示q。
3
从p的起点向q的终点绘制连线，该连线即为合向量p + q。

向量减法遵循与加法相同的法则，但需要将被减向量的方向反转： $a - b = a + (- b)$ 。

📐 例题

沿用前例中的向量p和q，计算p - q。

1
将q的方向反转得到**-q**，即长度为1单位、指向下方的竖直箭头。
2
将**-q的起点放在p**的终点上。
3
从p的起点向**-q的终点绘制合向量，得到p - q**。

Exam tip:

绘图时务必为向量标注箭头，避免方向错误，这是考试中常见的扣分点。

2. 向量的数乘运算★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

📘 定义

数乘向量

将向量v乘以标量 $k$ ，得到的新向量大小为 $∣ k ∣ \times ∣ v ∣$ 。当 $k > 0$ 时方向与v相同，当 $k < 0$ 时方向与v相反，当 $k = 0$ 时得到零向量。

例:

If v is 3 units right, $2 v$ is 6 units right, $- 0.5 v$ is 1.5 units left.

📐 例题

已知向量r为向上的2单位向量，求 $3 r$ 和 $- 2 r$ 。

1
对于 $3 r$ ：将r的大小乘以3，得到 $2 \times 3 = 6$ 单位，方向与r保持一致（向上）。
2
对于 $- 2 r$ ：将r的大小乘以2，得到 $2 \times 2 = 4$ 单位，将r的方向反转，指向下方。

3. 非平行向量的等系数法★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

📘 定义

等系数法则

若 $α_{1} a + β_{1} b = α_{2} a + β_{2} b$ ，其中a和b为非平行共面向量，则可以对相同向量的系数分别列等式： $α_{1} = α_{2}$ 且 $β_{1} = β_{2}$ 。

例:

If $2 a + 5 b = x a + (y + 1) b$ , then $x = 2$ and $y = 4$ .

📐 例题

求常数 $p$ 和 $q$ 的值，使得 $3 (p a - 2 b) = 12 a + q b$ 成立，其中a和b为不平行向量。

1
首先展开等式左侧： $3 p a - 6 b = 12 a + q b$ 。
2
令a的系数相等： $3 p = 12$ ，因此 $p = 4$ 。
3
令b的系数相等： $- 6 = q$ ，因此 $q = - 6$ 。

Exam tip:

除非题目明确说明，否则不要默认向量是非平行的；等系数法则不适用于平行向量。

4. 向量的复合运算★★★☆☆⏱ 6 min

✓ 计算器

你经常需要在同一道题目中结合向量加法、减法和数乘运算。请遵循标准运算顺序：先完成数乘运算，再展开括号，最后分组合并同类向量。

📐 例题

化简 $2 (a + 3 b) - 4 (2 a - b)$ ，若化简后的表达式等于 $m a + n b$ （其中a、b为不平行向量），求 $m$ 和 $n$ 的值。

1
首先展开所有数乘运算，正确分配负号： $2 a + 6 b - 8 a + 4 b$ 。
2
对同类向量进行分组： $(2 a - 8 a) + (6 b + 4 b)$ 。
3
化简得到 $- 6 a + 10 b$ 。
4
令系数相等： $m = - 6$ ， $n = 10$ 。

✓ 快速检测

Simplify $3 (x - 2 y) + 5 (y - x)$
- $- 2 x - y$
- $2 x + y$
- $- 2 x + 11 y$

5. 常见陷阱

错误做法:

Forgetting to reverse the direction of the vector being subtracted

原因:

Vector subtraction is addition of the negative vector, so direction reversal is required to get the correct resultant

正确做法:

When calculating $a - b$ , first flip the direction of b to get -b, then add to a

错误做法:

Applying the coefficient equating rule to parallel vectors

原因:

Parallel vectors can be written as scalar multiples of each other, so infinitely many coefficient solutions exist

正确做法:

Only equate coefficients if the question explicitly states the vectors are non-parallel

错误做法:

Failing to distribute negative signs when expanding scalar multiplication

原因:

For example, expanding $- 2 (a - b)$ as $- 2 a - 2 b$ instead of $- 2 a + 2 b$ leads to wrong coefficient values

正确做法:

Distribute the scalar including its sign to every term inside brackets before combining like vectors

错误做法:

Omitting arrow labels on vector diagrams

原因:

Examiners cannot verify the direction of your resultant vector if no arrow is present, leading to lost marks

正确做法:

Always draw an arrow on every vector you plot, including resultant vectors, to indicate direction

错误做法:

Reversing the direction of a vector when multiplying by a positive scalar

原因:

Positive scalars only change the magnitude of a vector, not its direction

正确做法:

Keep direction identical to the original vector for positive scalars; reverse direction only for negative scalars

6. 速查表

Operation	Rule	Example
Vector Addition (Triangle Law)	Place head of first vector at tail of second; resultant from tail of first to head of second	$a + b$ = resultant of sequential displacements
Vector Subtraction	$a - b = a + (- b)$ : reverse direction of subtracted vector then add	$a - a = 0$ (zero vector)
Scalar Multiplication	$k v$ has magnitude $∣ k ∣ \times ∣ v ∣$ , direction same if $k > 0$ , opposite if $k < 0$	$3 v$ is 3x length of $v$ , same direction
Coefficient Equating	For non-parallel $a, b$ : $α_{1} a + β_{1} b = α_{2} a + β_{2} b ⟹ α_{1} = α_{2}, β_{1} = β_{2}$	$2 a + 3 b = x a + y b ⟹ x = 2, y = 3$

7. 常见问题

本主题需要使用i,j分量记法吗？

不需要，i,j分量记法将在S7_T02中单独讲解。根据4PM1考纲要求，本主题仅使用粗体/下划线向量记法和几何表示。

等系数法则可以应用于任意两个向量吗？

不可以，该法则仅适用于非平行向量。平行向量可以表示为彼此的数乘倍数，因此存在无穷多组系数解。

深入阅读

official_spec爱德思4PM1考纲向量相关内容请参考S7章节

下一步

Now that you have mastered core vector operations, you are ready to progress to more advanced vector topics in the Edexcel IGCSE Further Pure Maths syllabus. The next step is learning to represent vectors in component (i,j) form, which lets you perform operations numerically rather than geometrically, making complex problems much faster to solve. You will then build on this to calculate vector magnitudes, work with position vectors, use unit vectors, and eventually apply vector operations to geometric proofs. All these topics are regularly tested in 4PM1 exams, so solidifying your understanding of the core operations covered here is critical for success in later vector questions, which usually make up 5-8 marks of the written paper. Practice combining operations and equating coefficients regularly to avoid common errors in your exam.