二项式级数 (1 + x)^n

Q: 我需要背诵二项式级数公式吗？

不需要，(1 + x)^n的完整级数会在4PM1公式表中给出，但你必须牢记有理数（非正整数）n对应的适用条件|x| < 1。

Q: 什么时候(1 + x)^n的二项式展开是有限的？

当n为正整数时，展开式在n+1项后终止，对x没有适用范围限制。

Q: 如何用标准的(1 + x)^n公式展开(a + bx)^n？

首先从括号中提取公因子a：，然后对这一项套用标准二项式级数。

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· S6章节（考纲6A部分）· 12 分钟阅读

1. 1. 有限展开：n为正整数★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

当n为正整数时， $(1 + x)^{n}$ 的二项式级数会生成一个有限的、终止的展开式，恰好包含n+1项。这种情况下x没有适用范围限制，因为级数在 $x^{n}$ 项之后就会终止。

📘 定义

有限终止二项式展开

正整数n对应的 $(1 + x)^{n}$ 的有限展开，不存在无限项，对所有实数x均成立。

📐 例题

完全展开 $(1 + 2 x)^{4}$ 。

1
回忆公式表中给出的正整数n对应的二项式级数：
2
$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + ... + x^n$
3
将 $n = 4$ 和 $x = 2 x$ 代入公式：
4
$1 + 4(2x) + \frac{4 \times 3}{2!}(2x)^2 + \frac{4 \times 3 \times 2}{3!}(2x)^3 + \frac{4!}{4!}(2x)^4$
5
化简每一项，得到最终展开式：
6
$1 + 8x + 24x^2 + 32x^3 + 16x^4$

Exam tip:

对于正整数n，你可以使用组合记号 $(r n)$ 或者公式表中的通项公式，二者得到的结果完全一致。

2. 2. 无限展开：n为有理数，|x| < 1★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

当n为负整数、分数或任意非正整数的有理数时，二项式级数会生成无限展开式。该展开式仅在 $∣ x ∣ < 1$ 时数学上成立：在这类题目的考试答案中，你必须写出该条件。

📘 定义

适用条件（有理数n）

当 $n \in Q$ 且n不是正整数时， $(1 + x)^{n}$ 的无限展开仅在x的绝对值小于1时收敛，记作 $∣ x ∣ < 1$ 。

📐 例题

求 $(1 - x)^{- 1/2}$ 展开式的前三个非零项，并写出该展开式成立的x的取值范围。

1
将表达式改写为 $(1 + (- x))^{n}$ ，其中 $n = - 1/2$ 。
2
套用公式表中的二项式级数公式：
3
$1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + ...$
4
代入 $n = - 1/2$ ，并将公式中的x替换为 $- x$ ：
5
$1 + (-1/2)(-x) + \frac{(-1/2)(-1/2 - 1)}{2!}(-x)^2 + ...$
6
化简每一项：
7
$1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + ...$
8
写出适用条件： $∣ - x ∣ < 1 ⟹ ∣ x ∣ < 1$

Exam tip:

请务必将括号内的整个表达式（例如 $(1 - x)^{n}$ 中的 $- x$ ）代入标准公式，而不是仅代入x的系数。

3. 3. 提取常数a展开$(a + bx)^n$★★★★☆⏱ 3 min

✓ 计算器

要将标准的 $(1 + x)^{n}$ 级数应用于形如 $(a + b x)^{n}$ 的表达式，首先从括号中提取常数a，将表达式改写为标准形式。同时调整适用条件，使其匹配 $(1 + k x)$ 项的新自变量。

📐 例题

求 $(4 + x)^{- 1}$ 展开式的前三项，并写出适用条件。

1
从括号中提取公因子4，将指数-1作用于提取出的常数：
2
$(4(1 + x/4))^{-1} = 4^{-1} \left(1 + \frac{x}{4}\right)^{-1} = \frac{1}{4}\left(1 + \frac{x}{4}\right)^{-1}$
3
用二项式级数展开 $(1 + \frac{x}{4})^{- 1}$ ：
4
$1 + (-1)\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{(-1)(-2)}{2!}\left(\frac{x}{4}\right)^2 + ... = 1 - \frac{x}{4} + \frac{x^2}{16} + ...$
5
将所有项乘以 $1/4$ ，得到最终展开式：
6
$\frac{1}{4} - \frac{x}{16} + \frac{x^2}{64} + ...$
7
写出适用条件： $\frac{x}{4} < 1 ⟹ ∣ x ∣ < 4$

Exam tip:

千万不要忘记将指数n作用于提取出来的常数项： $(a \times f (x))^{n} = a^{n} [f (x)]^{n}$ ，而不是 $a [f (x)]^{n}$ ——这是本知识点最常见的失分错误之一。

4. 4. 应用：求指定项、系数与近似值★★★★☆⏱ 2 min

✓ 计算器

考试题目经常要求你求出指定项（例如 $x^{3}$ 的系数），或者利用展开式的前2-3项，在高阶项可以忽略的小x场景下近似计算表达式的值。

📐 例题

利用 $1 + 0.04$ 展开式的前三项求 $1.04$ 的近似值，结果保留三位小数。

1
将表达式改写为 $(1 + 0.04)^{1/2}$ 。
2
计算展开式的前三项：
3
$1 + \frac{1}{2}(0.04) + \frac{(1/2)(-1/2)}{2!}(0.04)^2$
4
化简每一项：
5
$1 + 0.02 - 0.0002 = 1.0198$
6
保留三位小数，得到最终近似值：1.020

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记写出有理数n展开式的适用条件 $∣ x ∣ < 1$

原因:

判卷人会专门为写出该条件设置得分点，遗漏它会白白丢掉很容易拿到的分数

正确做法:

在任何无限二项式展开的答案后都立刻写出适用条件，如果括号内的自变量不是x，要对应调整条件

错误做法:

展开 $(a + b x)^{n}$ 时，没有将指数n作用于提取出来的常数

原因:

这会导致展开式的所有项系数都被错误缩放，整道展开题全部失分

正确做法:

从 $(a + b x)^{n}$ 中提取a时，要写成 $a^{n} (1 + \frac{b}{a} x)^{n}$ ，而不是 $a (1 + \frac{b}{a} x)^{n}$

错误做法:

对正整数n的展开式使用适用条件 $∣ x ∣ < 1$

原因:

正整数n对应的有限展开对所有x都成立，这个条件是多余的，甚至会因为写出错误的适用条件被扣掉分数

正确做法:

仅当n不是正整数时，才需要写出适用条件

错误做法:

对 $(1 - 3 x)^{n}$ 套用标准公式时，代入 $3 x$ 而不是 $- 3 x$

原因:

这会导致所有奇次项的符号错误，即使展开方法正确也会失分

正确做法:

代入标准 $(1 + x)^{n}$ 公式之前，先把括号改写为 $(1 + (- 3 x))^{n}$

6. 速查表

场景	展开形式	适用条件	第r项通项
n为正整数	$(1 + x)^{n} = 1 + n x + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} x^{2} + ... + x^{n}$	所有实数x	$(r n) x^{r}$
n为有理数（非正整数）	$(1 + x)^{n} = 1 + n x + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} x^{2} + ...$	$∣ x ∣ < 1$	$\frac{n ( n - 1 ) ... ( n - r + 1 )}{r !} x^{r}$
$(a + b x)^{n}$ （n为非正整数）	$a^{n} (1 + \frac{b}{a} x)^{n}$	$∣ x ∣ < \frac{a}{b}$	$a^{n} \times \frac{n ( n - 1 ) ... ( n - r + 1 )}{r !} (\frac{b}{a} x)^{r}$

7. 常见问题

我需要背诵二项式级数公式吗？

不需要，(1 + x)^n的完整级数会在4PM1公式表中给出，但你必须牢记有理数（非正整数）n对应的适用条件|x| < 1。

什么时候(1 + x)^n的二项式展开是有限的？

当n为正整数时，展开式在n+1项后终止，对x没有适用范围限制。

如何用标准的(1 + x)^n公式展开(a + bx)^n？

首先从括号中提取公因子a： $(a + b x)^{n} = a^{n} (1 + \frac{b}{a} x)^{n}$ ，然后对 $(1 + \frac{b}{a} x)$ 这一项套用标准二项式级数。

深入阅读

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下一步

现在你已经掌握了 $(1 + x)^{n}$ 的二项式级数，可以将这个技能应用到Edexcel IGCSE 进阶纯数学考试中更复杂的代数问题里。本知识点经常和代数化简、坐标几何类题目结合考察，所以你要确保能灵活串联这些知识点。S6单元后续的内容都直接以本知识点为基础，你可以先完成二项式级数应用相关的历年真题练习，巩固理解之后再学习S7的微分内容。