# 二项式级数 (1 + x)^n

> Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学 · 4PM1 (2016版考纲)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s6-the-binomial-series-n/

本指南将教你对正整数指数（有限展开）和有理数指数（无限展开，满足$|x| < 1$时成立）两种情况应用$(1 + x)^n$的二项式级数。你还将学习展开$(a + bx)^n$，并解答考试中常见的系数求解和近似计算类题型。

**先修:** [GCSE核心阶段的正整数指数二项式展开知识](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-gcse-maths-algebra-binomial-expansion/)

## 学习目标

- 对正整数n展开(1 + x)^n（有限终止展开，无适用范围限制）
- 对有理数n展开(1 + x)^n，明确其适用条件|x| < 1
- 通过提取常数a将(a + bx)^n变形，以套用二项式级数公式
- 利用二项式展开计算指定项、系数和近似值

## 1. 有限展开：n为正整数

当n为正整数时，$(1 + x)^n$的二项式级数会生成一个有限的、终止的展开式，恰好包含n+1项。这种情况下x没有适用范围限制，因为级数在$x^n$项之后就会终止。

**有限终止二项式展开** — 正整数n对应的$(1 + x)^n$的有限展开，不存在无限项，对所有实数x均成立。

**例题:** 完全展开$(1 + 2x)^4$。

1. 回忆公式表中给出的正整数n对应的二项式级数：
2. $$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + ... + x^n$$
3. 将$n = 4$和$x = 2x$代入公式：
4. $$1 + 4(2x) + \frac{4 \times 3}{2!}(2x)^2 + \frac{4 \times 3 \times 2}{3!}(2x)^3 + \frac{4!}{4!}(2x)^4$$
5. 化简每一项，得到最终展开式：
6. $$1 + 8x + 24x^2 + 32x^3 + 16x^4$$

> **考试提示:** 对于正整数n，你可以使用组合记号$\binom{n}{r}$或者公式表中的通项公式，二者得到的结果完全一致。

*计算器:* allowed

## 2. 无限展开：n为有理数，|x| < 1

当n为负整数、分数或任意非正整数的有理数时，二项式级数会生成无限展开式。该展开式仅在$|x| < 1$时数学上成立：在这类题目的考试答案中，你**必须**写出该条件。

**适用条件（有理数n）** — 当$n \in \mathbb{Q}$且n不是正整数时，$(1 + x)^n$的无限展开仅在x的绝对值小于1时收敛，记作$|x| < 1$。

**例题:** 求$(1 - x)^{-1/2}$展开式的前三个非零项，并写出该展开式成立的x的取值范围。

1. 将表达式改写为$(1 + (-x))^n$，其中$n = -1/2$。
2. 套用公式表中的二项式级数公式：
3. $$1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + ...$$
4. 代入$n = -1/2$，并将公式中的x替换为$-x$：
5. $$1 + (-1/2)(-x) + \frac{(-1/2)(-1/2 - 1)}{2!}(-x)^2 + ...$$
6. 化简每一项：
7. $$1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + ...$$
8. 写出适用条件：$|-x| < 1 \implies |x| < 1$

> **考试提示:** 请务必将括号内的整个表达式（例如$(1 - x)^n$中的$-x$）代入标准公式，而不是仅代入x的系数。

*计算器:* allowed

## 3. 提取常数a展开$(a + bx)^n$

要将标准的$(1 + x)^n$级数应用于形如$(a + bx)^n$的表达式，首先从括号中提取常数a，将表达式改写为标准形式。同时调整适用条件，使其匹配$(1 + kx)$项的新自变量。

**例题:** 求$(4 + x)^{-1}$展开式的前三项，并写出适用条件。

1. 从括号中提取公因子4，将指数-1作用于提取出的常数：
2. $$(4(1 + x/4))^{-1} = 4^{-1} \left(1 + \frac{x}{4}\right)^{-1} = \frac{1}{4}\left(1 + \frac{x}{4}\right)^{-1}$$
3. 用二项式级数展开$\left(1 + \frac{x}{4}\right)^{-1}$：
4. $$1 + (-1)\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{(-1)(-2)}{2!}\left(\frac{x}{4}\right)^2 + ... = 1 - \frac{x}{4} + \frac{x^2}{16} + ...$$
5. 将所有项乘以$1/4$，得到最终展开式：
6. $$\frac{1}{4} - \frac{x}{16} + \frac{x^2}{64} + ...$$
7. 写出适用条件：$\left|\frac{x}{4}\right| < 1 \implies |x| < 4$

> **考试提示:** 千万不要忘记将指数n作用于提取出来的常数项：$(a \times f(x))^n = a^n [f(x)]^n$，而不是$a [f(x)]^n$——这是本知识点最常见的失分错误之一。

*计算器:* allowed

## 4. 应用：求指定项、系数与近似值

考试题目经常要求你求出指定项（例如$x^3$的系数），或者利用展开式的前2-3项，在高阶项可以忽略的小x场景下近似计算表达式的值。

**例题:** 利用$\sqrt{1 + 0.04}$展开式的前三项求$\sqrt{1.04}$的近似值，结果保留三位小数。

1. 将表达式改写为$(1 + 0.04)^{1/2}$。
2. 计算展开式的前三项：
3. $$1 + \frac{1}{2}(0.04) + \frac{(1/2)(-1/2)}{2!}(0.04)^2$$
4. 化简每一项：
5. $$1 + 0.02 - 0.0002 = 1.0198$$
6. 保留三位小数，得到最终近似值：1.020

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记写出有理数n展开式的适用条件$|x| < 1$
  - 原因: 判卷人会专门为写出该条件设置得分点，遗漏它会白白丢掉很容易拿到的分数
  - 正确做法: 在任何无限二项式展开的答案后都立刻写出适用条件，如果括号内的自变量不是x，要对应调整条件
- **错误做法:** 展开$(a + bx)^n$时，没有将指数n作用于提取出来的常数
  - 原因: 这会导致展开式的所有项系数都被错误缩放，整道展开题全部失分
  - 正确做法: 从$(a + bx)^n$中提取a时，要写成$a^n \left(1 + \frac{b}{a}x\right)^n$，而不是$a \left(1 + \frac{b}{a}x\right)^n$
- **错误做法:** 对正整数n的展开式使用适用条件$|x| < 1$
  - 原因: 正整数n对应的有限展开对所有x都成立，这个条件是多余的，甚至会因为写出错误的适用条件被扣掉分数
  - 正确做法: 仅当n不是正整数时，才需要写出适用条件
- **错误做法:** 对$(1 - 3x)^n$套用标准公式时，代入$3x$而不是$-3x$
  - 原因: 这会导致所有奇次项的符号错误，即使展开方法正确也会失分
  - 正确做法: 代入标准$(1 + x)^n$公式之前，先把括号改写为$(1 + (-3x))^n$

## 速查表

| 场景 | 展开形式 | 适用条件 | 第r项通项 |
| --- | --- | --- | --- |
| n为正整数 | $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + ... + x^n$ | 所有实数x | $\binom{n}{r}x^r$ |
| n为有理数（非正整数） | $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + ...$ | $\|x\| < 1$ | $\frac{n(n-1)...(n-r+1)}{r!}x^r$ |
| $(a + bx)^n$（n为非正整数） | $a^n\left(1 + \frac{b}{a}x\right)^n$ | $\|x\| < \left\|\frac{a}{b}\right\|$ | $a^n \times \frac{n(n-1)...(n-r+1)}{r!}\left(\frac{b}{a}x\right)^r$ |

## 下一步

现在你已经掌握了$(1 + x)^n$的二项式级数，可以将这个技能应用到Edexcel IGCSE 进阶纯数学考试中更复杂的代数问题里。本知识点经常和代数化简、坐标几何类题目结合考察，所以你要确保能灵活串联这些知识点。S6单元后续的内容都直接以本知识点为基础，你可以先完成二项式级数应用相关的历年真题练习，巩固理解之后再学习S7的微分内容。

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