等差数列与等比级数

Q: 我需要熟记等差数列和等比数列的求和公式吗？

不需要，等差数列和等比数列的所有求和公式（包括无穷项和）都在官方4PM1公式表中给出，你只需要熟记等差数列和等比数列的第n项公式即可。

Q: 什么时候可以使用无穷项和公式？

你只能对公比的绝对值小于1的等比级数使用无穷项和公式，即满足。如果，级数发散，不存在有限的无穷项和。

Q: 考试中我需要证明等差数列和等比数列的求和公式吗？

不需要，4PM1考纲明确不要求掌握所有等差、等比求和公式的证明，因此考试不会要求你推导这些公式。

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· S5 5B· 25 分钟阅读

1. 等差数列（AP）基础★★☆☆☆⏱ 6 min

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📘 定义

等差数列（AP）

每一项按照称为公差 $d$ 的固定常数值增减的数列。

例:

数列2, 5, 8, 11, 14是首项 $a = 2$ 、公差 $d = 3$ 的等差数列。

等差数列的第n项通过公式 $u_{n} = a + (n - 1) d$ 计算，该公式你必须在考试中熟记。等差数列前 $n$ 项的和在公式表中给出为 $S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]$ ，因此你不需要记忆这个公式。

📐 例题

某等差数列首项为7，公差为3，求第12项以及前20项的和。

1
识别已知值：计算第n项时 $a = 7$ ， $d = 3$ ， $n = 12$ 。
2
$u_{12} = 7 + (12-1) \times 3 = 7 + 33 = 40$
3
计算前20项的和时，在求和公式中代入 $n = 20$ ：
4
$S_{20} = \frac{20}{2}[2(7) + (20-1) \times 3] = 10[14 + 57] = 10 \times 71 = 710$

Exam tip:

在解答等差数列题目时，一开始就清晰标注所有已知值（a、d、n），避免代换错误。

2. 等比数列（GP）基础★★★☆☆⏱ 7 min

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📘 定义

等比数列（GP）

每一项乘以称为公比 $r$ 的固定常数值得到下一项的数列。

例:

数列3, 6, 12, 24, 48是首项 $a = 3$ 、公比 $r = 2$ 的等比数列。

等比数列的第n项通过公式 $u_{n} = a r^{n - 1}$ 计算，该公式你必须在考试中熟记。等比数列前 $n$ 项的和在公式表中给出为 $S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ ；无论 $r$ 大于还是小于1，都使用这个形式，避免符号错误。

📐 例题

某等比数列首项为128，公比为0.5，求第6项以及前8项的和。

1
识别已知值：计算第n项时 $a = 128$ ， $r = 0.5$ ， $n = 6$ 。
2
$u_6 = 128 \times (0.5)^{6-1} = 128 \times (0.5)^5 = 128 \times \frac{1}{32} = 4$
3
计算前8项的和时，在求和公式中代入 $n = 8$ ：
4
$S_8 = \frac{128(1 - (0.5)^8)}{1 - 0.5} = \frac{128(1 - \frac{1}{256})}{0.5} = 256 \times \frac{255}{256} = 255$

Exam tip:

当 $r$ 为分数或负数时，对 $r$ 取幂运算时请给 $r$ 加上括号，避免符号或计算错误。

3. 收敛等比级数与无穷项和★★★☆☆⏱ 6 min

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📘 定义

收敛等比级数

当 $n$ 增大时项逐渐趋近于0，因此无穷多项的总和为有限值的等比级数。

例:

等比数列16, 8, 4, 2, 1, ... 的公比 $r = 0.5$ ，因此是收敛的，存在有限的无穷项和。

收敛等比级数的无穷项和在公式表中给出为 $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ 。你只能在公比的绝对值小于1，即 $∣ r ∣ < 1$ 时使用该公式。如果 $∣ r ∣ \geq 1$ ，级数发散，不存在有限的无穷项和。

📐 例题

某等比数列首项为50，无穷项和为62.5，求公比 $r$ 并验证该级数是收敛的。

1
将已知值代入无穷项和公式：
2
$62.5 = \frac{50}{1 - r}$
3
变形求解 $r$ ：
4
$62.5(1 - r) = 50 \implies 1 - r = \frac{50}{62.5} = 0.8 \implies r = 1 - 0.8 = 0.2$
5
验证收敛性： $∣0.2∣ = 0.2 < 1$ ，因此该级数是收敛的。

Exam tip:

如果考题要求计算无穷项和，作答时必须写明 $∣ r ∣ < 1$ 的验证步骤，才能拿到全部分数。

4. 等差等比混合考题★★★★☆⏱ 8 min

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本知识点的大多数考题会结合等差和等比数列的概念，因此你需要根据题意区分两种数列类型，按需应用正确的公式。

📐 例题

某数列前三项为8, 13, 18。(a) 判断该数列是等差数列还是等比数列，并求第25项。(b) 第二个数列首项为2，第三项为18，且为等比数列，求该等比数列前10项的和。

1
第(a)问：检查相邻两项的差： $13 - 8 = 5$ ， $18 - 13 = 5$ 。这是首项 $a = 8$ 、公差 $d = 5$ 的等差数列。
2
$u_{25} = 8 + (25 - 1) \times 5 = 8 + 120 = 128$
3
第(b)问：对于该等比数列，首项 $a = 2$ ，第三项 $a r^{2} = 18$ ：
4
$2r^2 = 18 \implies r^2 = 9 \implies r = 3 \text{ 或 } r = -3$
5
计算 $r = 3$ 时的和：
6
$S_{10} = \frac{2(1 - 3^{10})}{1 - 3} = \frac{2(1 - 59049)}{-2} = 59048$
7
计算 $r = - 3$ 时的和：
8
$S_{10} = \frac{2(1 - (-3)^{10})}{1 - (-3)} = \frac{2(1 - 59049)}{4} = -29524$

Exam tip:

在等比数列中求解 $r$ 时，除非题目说明所有项均为正，否则 $r$ 可以为负数，因此你可能得到两个有效解。

5. 常见陷阱

错误做法:

将等差数列的第n项公式用于等比数列，或反之。

原因:

混淆等差数列的线性第n项和等比数列的指数型第n项，会得到完全错误的结果。

正确做法:

在选择公式前，先检查数列是具有恒定公差（等差数列）还是恒定公比（等比数列）。

错误做法:

对 $∣ r ∣ \geq 1$ 的等比数列使用无穷项和公式。

原因:

该级数发散，不存在有限和，这样做会得到无效结果。

正确做法:

应用无穷项和公式前务必验证 $∣ r ∣ < 1$ ，并在作答中写明该验证步骤。

错误做法:

在等差、等比数列的第n项公式中使用 $n$ 而非 $n - 1$ 。

原因:

首项对应 $n = 1$ ，因此增量/乘数的数量始终比 $n$ 小1。

正确做法:

将 $n = 1$ 代入你算出的第n项表达式，验证是否得到正确的首项 $a$ 。

错误做法:

在等比数列题目中忘记公比 $r$ 可以为负数。

原因:

很多题目没有说明所有项均为正，因此负的 $r$ 是有效解，遗漏会导致丢分。

正确做法:

当从偶次幂（例如 $r^{2} = 16$ ）求解 $r$ 时，除非题目另有说明，否则必须同时给出正根和负根。

错误做法:

变形无穷项和公式求解 $r$ 或 $a$ 时出错。

原因:

考试压力下对分数做代数变形很容易出错。

正确做法:

先交叉相乘消去分母再移项，最后代回原式验证答案。

6. 速查表

概念	公式	公式表中是否给出	关键条件
等差数列第n项	$u_{n} = a + (n - 1) d$	否	$d$ = 恒定公差
等差数列前 $n$ 项和	$S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]$	是
等比数列第n项	$u_{n} = a r^{n - 1}$	否	$r$ = 恒定公比
等比数列前 $n$ 项和	$S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$	是
等比级数无穷项和	$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$	是	$∣ r ∣ < 1$ （仅适用于收敛级数）

7. 常见问题

我需要熟记等差数列和等比数列的求和公式吗？

不需要，等差数列和等比数列的所有求和公式（包括无穷项和）都在官方4PM1公式表中给出，你只需要熟记等差数列和等比数列的第n项公式即可。

什么时候可以使用无穷项和公式？

你只能对公比的绝对值小于1的等比级数使用无穷项和公式，即满足 $∣ r ∣ < 1$ 。如果 $∣ r ∣ \geq 1$ ，级数发散，不存在有限的无穷项和。

考试中我需要证明等差数列和等比数列的求和公式吗？

不需要，4PM1考纲明确不要求掌握所有等差、等比求和公式的证明，因此考试不会要求你推导这些公式。

深入阅读

referenceEdexcel 4PM1 完整公式表2016考纲官方公式表

下一步

在掌握Edexcel IGCSE进阶纯数学的等差、等比级数内容后，你可以继续学习级数单元的下一个主题：二项式级数。你还应当练习等差、等比级数的历年真题，提升解题速度和准确率，该知识点几乎在每一份考卷中都会出现。确保你能快速区分等差和等比数列的场景，始终仔细核对公式中的代换值，避免不必要的错误。记住所有求和公式都会在公式表中给出，因此重点熟记第n项公式和无穷项和的 $∣ r ∣ < 1$ 条件即可。