# 等差数列与等比级数

> Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学 · 4PM1 2016 考纲
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s5-arithmetic-and-geometric-series/

本指南涵盖Edexcel IGCSE进阶纯数学（4PM1）S5模块要求的全部等差、等比级数内容，包括第n项计算、前n项和、收敛等比级数的无穷项和，附带符合考试风格的完整例题。

**先修:** [代数代换与公式变形](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-algebra-rearrangement/); [绝对值基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-math-number-absolute-value/)

## 学习目标

- 熟记并应用等差数列和等比数列的第n项公式
- 使用给定公式计算等差数列和等比级数的前n项和
- 运用收敛等比级数的无穷项和公式，掌握$|r| < 1$的适用条件
- 求解结合等差数列和等比级数知识点的结构化考题

## 等差数列（AP）基础

**等差数列（AP）** — 每一项按照称为公差$d$的固定常数值增减的数列。

*例:* 数列2, 5, 8, 11, 14是首项$a=2$、公差$d=3$的等差数列。

等差数列的第n项通过公式$u_n = a + (n-1)d$计算，该公式你必须在考试中熟记。等差数列前$n$项的和在公式表中给出为$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$，因此你不需要记忆这个公式。

**例题:** 某等差数列首项为7，公差为3，求第12项以及前20项的和。

1. 识别已知值：计算第n项时$a=7$，$d=3$，$n=12$。
2. $$u_{12} = 7 + (12-1) \times 3 = 7 + 33 = 40$$
3. 计算前20项的和时，在求和公式中代入$n=20$：
4. $$S_{20} = \frac{20}{2}[2(7) + (20-1) \times 3] = 10[14 + 57] = 10 \times 71 = 710$$

> **考试提示:** 在解答等差数列题目时，一开始就清晰标注所有已知值（a、d、n），避免代换错误。

*计算器:* allowed

## 等比数列（GP）基础

**等比数列（GP）** — 每一项乘以称为公比$r$的固定常数值得到下一项的数列。

*例:* 数列3, 6, 12, 24, 48是首项$a=3$、公比$r=2$的等比数列。

等比数列的第n项通过公式$u_n = ar^{n-1}$计算，该公式你必须在考试中熟记。等比数列前$n$项的和在公式表中给出为$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$；无论$r$大于还是小于1，都使用这个形式，避免符号错误。

**例题:** 某等比数列首项为128，公比为0.5，求第6项以及前8项的和。

1. 识别已知值：计算第n项时$a=128$，$r=0.5$，$n=6$。
2. $$u_6 = 128 \times (0.5)^{6-1} = 128 \times (0.5)^5 = 128 \times \frac{1}{32} = 4$$
3. 计算前8项的和时，在求和公式中代入$n=8$：
4. $$S_8 = \frac{128(1 - (0.5)^8)}{1 - 0.5} = \frac{128(1 - \frac{1}{256})}{0.5} = 256 \times \frac{255}{256} = 255$$

> **考试提示:** 当$r$为分数或负数时，对$r$取幂运算时请给$r$加上括号，避免符号或计算错误。

*计算器:* allowed

## 收敛等比级数与无穷项和

**收敛等比级数** — 当$n$增大时项逐渐趋近于0，因此无穷多项的总和为有限值的等比级数。

*例:* 等比数列16, 8, 4, 2, 1, ... 的公比$r=0.5$，因此是收敛的，存在有限的无穷项和。

收敛等比级数的无穷项和在公式表中给出为$S_\infty = \frac{a}{1 - r}$。你只能在公比的绝对值小于1，即$|r| < 1$时使用该公式。如果$|r| \geq 1$，级数发散，不存在有限的无穷项和。

**例题:** 某等比数列首项为50，无穷项和为62.5，求公比$r$并验证该级数是收敛的。

1. 将已知值代入无穷项和公式：
2. $$62.5 = \frac{50}{1 - r}$$
3. 变形求解$r$：
4. $$62.5(1 - r) = 50 \implies 1 - r = \frac{50}{62.5} = 0.8 \implies r = 1 - 0.8 = 0.2$$
5. 验证收敛性：$|0.2| = 0.2 < 1$，因此该级数是收敛的。

> **考试提示:** 如果考题要求计算无穷项和，作答时必须写明$|r| < 1$的验证步骤，才能拿到全部分数。

*计算器:* allowed

## 等差等比混合考题

本知识点的大多数考题会结合等差和等比数列的概念，因此你需要根据题意区分两种数列类型，按需应用正确的公式。

**例题:** 某数列前三项为8, 13, 18。(a) 判断该数列是等差数列还是等比数列，并求第25项。(b) 第二个数列首项为2，第三项为18，且为等比数列，求该等比数列前10项的和。

1. 第(a)问：检查相邻两项的差：$13 - 8 = 5$，$18 - 13 = 5$。这是首项$a=8$、公差$d=5$的等差数列。
2. $$u_{25} = 8 + (25 - 1) \times 5 = 8 + 120 = 128$$
3. 第(b)问：对于该等比数列，首项$a=2$，第三项$ar^2 = 18$：
4. $$2r^2 = 18 \implies r^2 = 9 \implies r = 3 \text{ 或 } r = -3$$
5. 计算$r=3$时的和：
6. $$S_{10} = \frac{2(1 - 3^{10})}{1 - 3} = \frac{2(1 - 59049)}{-2} = 59048$$
7. 计算$r=-3$时的和：
8. $$S_{10} = \frac{2(1 - (-3)^{10})}{1 - (-3)} = \frac{2(1 - 59049)}{4} = -29524$$

> **考试提示:** 在等比数列中求解$r$时，除非题目说明所有项均为正，否则$r$可以为负数，因此你可能得到两个有效解。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 将等差数列的第n项公式用于等比数列，或反之。
  - 原因: 混淆等差数列的线性第n项和等比数列的指数型第n项，会得到完全错误的结果。
  - 正确做法: 在选择公式前，先检查数列是具有恒定公差（等差数列）还是恒定公比（等比数列）。
- **错误做法:** 对$|r| \geq 1$的等比数列使用无穷项和公式。
  - 原因: 该级数发散，不存在有限和，这样做会得到无效结果。
  - 正确做法: 应用无穷项和公式前务必验证$|r| < 1$，并在作答中写明该验证步骤。
- **错误做法:** 在等差、等比数列的第n项公式中使用$n$而非$n-1$。
  - 原因: 首项对应$n=1$，因此增量/乘数的数量始终比$n$小1。
  - 正确做法: 将$n=1$代入你算出的第n项表达式，验证是否得到正确的首项$a$。
- **错误做法:** 在等比数列题目中忘记公比$r$可以为负数。
  - 原因: 很多题目没有说明所有项均为正，因此负的$r$是有效解，遗漏会导致丢分。
  - 正确做法: 当从偶次幂（例如$r^2=16$）求解$r$时，除非题目另有说明，否则必须同时给出正根和负根。
- **错误做法:** 变形无穷项和公式求解$r$或$a$时出错。
  - 原因: 考试压力下对分数做代数变形很容易出错。
  - 正确做法: 先交叉相乘消去分母再移项，最后代回原式验证答案。

## 速查表

| 概念 | 公式 | 公式表中是否给出 | 关键条件 |
| --- | --- | --- | --- |
| 等差数列第n项 | $u_n = a + (n-1)d$ | 否 | $d$ = 恒定公差 |
| 等差数列前$n$项和 | $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ | 是 |  |
| 等比数列第n项 | $u_n = ar^{n-1}$ | 否 | $r$ = 恒定公比 |
| 等比数列前$n$项和 | $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ | 是 |  |
| 等比级数无穷项和 | $S_\infty = \frac{a}{1 - r}$ | 是 | $\|r\| < 1$（仅适用于收敛级数） |

## 下一步

在掌握Edexcel IGCSE进阶纯数学的等差、等比级数内容后，你可以继续学习级数单元的下一个主题：二项式级数。你还应当练习等差、等比级数的历年真题，提升解题速度和准确率，该知识点几乎在每一份考卷中都会出现。确保你能快速区分等差和等比数列的场景，始终仔细核对公式中的代换值，避免不必要的错误。记住所有求和公式都会在公式表中给出，因此重点熟记第n项公式和无穷项和的$|r| < 1$条件即可。

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