多项式与有理函数的图像

Edexcel 国际IGCSE 进阶纯数学· S4 4A· 22 分钟阅读

1. 绘制多项式图像★★☆☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

多项式末端行为

当 $x \to + \infty$ 和 $x \to - \infty$ 时图像延伸的方向，由多项式的次数（偶/奇）和首项系数的符号决定。

绘制多项式图像请遵循3个核心步骤：1. 求解 $f (x) = 0$ 找到所有x轴截距，计算 $f (0)$ 得到y轴截距。2. 识别末端行为：偶次多项式的两端指向同一方向，奇次多项式的两端指向相反方向。首项系数为正的多项式右端向上延伸，首项系数为负的多项式右端向下延伸。3. 绘制一条平滑曲线穿过所有截距，匹配末端行为，并标注所有要求的特征。

📐 例题

绘制 $f (x) = x^{3} - 4 x$ 的图像，标注所有截距并展示正确形状。

1
求y轴截距：代入 $x = 0$ ， $f (0) = 0$ ，因此y轴截距为 $(0, 0)$
2
求x轴截距：求解 $x^{3} - 4 x = 0 \to x (x^{2} - 4) = 0 \to x (x - 2) (x + 2) = 0$ ，因此截距为 $(- 2, 0)$ 、 $(0, 0)$ 、 $(2, 0)$
3
识别末端行为：首项是 $x^{3}$ ，次数为3（奇数），首项系数为正。因此当 $x \to + \infty$ ， $f (x) \to + \infty$ ；当 $x \to - \infty$ ， $f (x) \to - \infty$
4
绘制一条平滑曲线穿过所有截距，匹配末端行为。标注图像 $f (x) = x^{3} - 4 x$ 、坐标轴和所有截距的坐标对。

Exam tip:

请务必为每个截距标注完整的坐标对，不要只在坐标轴上标注数值，避免丢失不必要的分数。

2. 识别线性分母有理函数的渐近线★★★☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

📘 定义

平行于坐标轴的渐近线

垂直渐近线出现在使线性分母为零（该x值处分子不为零）的x坐标处。水平渐近线是当 $x \to \pm \infty$ 时图像趋近的固定y值。

对于形式为 $f (x) = \frac{P ( x )}{c x + d}$ 的有理函数，其中 $P (x)$ 是多项式且分母为线性：1. 垂直渐近线：求解 $c x + d = 0$ 得到 $x = - \frac{d}{c}$ 。2. 水平渐近线：如果 $P (x)$ 的次数小于1， $y = 0$ ；如果 $P (x)$ 的次数等于1， $y = \frac{P ( x ) 的首项系数}{c}$ 。

📐 例题

求 $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ 的垂直渐近线和水平渐近线

1
求垂直渐近线：令分母等于零： $x - 1 = 0 \to x = 1$
2
求水平渐近线：分子次数（1）等于分母次数（1）。分子首项系数为2，分母首项系数为1，因此 $y = \frac{2}{1} = 2$
3
验证：当 $x \to \pm \infty$ 时，常数项可以忽略，因此 $f (x) \approx \frac{2 x}{x} = 2$ ，确认水平渐近线正确。

3. 绘制线性分母有理函数的图像★★★☆☆⏱ 8 min

✓ 计算器

绘制线性分母有理函数的图像，在求出渐近线后遵循以下步骤：1. 令分子等于零求出x轴截距，代入 $x = 0$ 求出y轴截距。2. 代入垂直渐近线两侧的x值进行测试，确定图像在每一侧趋近 $+ \infty$ 还是 $- \infty$ 。3. 绘制图像的两条独立分支，使其趋近渐近线，穿过截距，并标注所有要求的特征。

📐 例题

绘制 $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ 的图像，标注所有截距和渐近线。

1
使用之前求出的渐近线：为 $x = 1$ （垂直）和 $y = 2$ （水平）绘制虚线，并标注两个方程。
2
求y轴截距：代入 $x = 0$ ， $f (0) = \frac{3}{- 1} = - 3$ ，因此截距在 $(0, - 3)$
3
求x轴截距：令分子等于零： $2 x + 3 = 0 \to x = - 1.5$ ，因此截距在 $(- 1.5, 0)$
4
测试 $x = 1$ 左侧的数值： $x = 0.5$ 得到 $f (x) = \frac{4}{- 0.5} = - 8$ ，因此左分支在 $x = 1$ 附近趋近 $- \infty$ ，当 $x \to - \infty$ 时趋近 $y = 2$ ，穿过 $(- 1.5, 0)$ 和 $(0, - 3)$
5
测试 $x = 1$ 右侧的数值： $x = 2$ 得到 $f (x) = 7$ ，因此右分支在 $x = 1$ 附近趋近 $+ \infty$ ，当 $x \to + \infty$ 时趋近 $y = 2$
6
标注所有截距坐标、坐标轴，并在曲线旁标注函数方程。

Exam tip:

即使绘图速度很快，也不要让你的曲线穿过垂直渐近线。如果曲线与垂直渐近线相交，你会被扣分。

4. 常见陷阱

错误做法:

将渐近线画为实线而非虚线

原因:

考试评分标准明确要求渐近线使用虚线以与曲线区分开，每画错一条渐近线扣除1分。

正确做法:

所有渐近线都使用虚线绘制，并在直线旁写出完整的渐近线方程。

错误做法:

忘记在绘制的曲线上标注函数方程

原因:

考试大纲要求你在每条曲线上写出函数方程，因此即使形状正确，未标注的曲线也会被扣分。

正确做法:

绘制完曲线后立即在曲线旁写出完整的函数方程。

错误做法:

假设所有有理函数的水平渐近线都是 $y = 0$

原因:

如果分子和分母次数相同，水平渐近线是首项系数的比值，而不是零。

正确做法:

计算水平渐近线时务必比较分子和分母的次数。

错误做法:

为绘制本主题的多项式图像计算驻点

原因:

此处不需要进行驻点分析，在这些计算上浪费时间会占用其他题目的作答时间。

正确做法:

对于本主题的多项式图像绘制，仅使用截距和末端行为即可，除非题目明确要求你求驻点。

5. 速查表

图像类型	核心步骤	所需标注
多项式	求x/y截距 2. 从首项识别末端行为 3. 绘制平滑曲线	截距坐标、坐标轴、函数方程、正确形状
有理函数（线性分母）	求垂直渐近线（分母=0） 2. 求水平渐近线 3. 求截距 4. 在垂直渐近线两侧测试数值	截距坐标、虚线渐近线+方程、坐标轴、函数方程

6. 常见问题

本知识点的图像绘制题需要计算驻点吗？

不需要。使用微积分进行驻点分析属于4PM1大纲的S9部分，不属于本子主题。你只需要标注截距、渐近线，画出曲线的正确大致形状即可拿到全部分数。

本知识点考察斜渐近线吗？

不考察。本子主题仅要求掌握平行于x轴或y轴的渐近线，在4PM1 S4的考试中你永远不会被要求求解或标注斜渐近线。

深入阅读

specificationEdexcel 4PM1 2016 考试大纲本知识点的官方大纲文件
formula sheet4PM1 考试公式表所有考试场次均可使用

下一步

现在你已经掌握了多项式和有理函数图像的绘制方法，可以继续学习Edexcel IGCSE 进阶纯数学S4单元的相关知识点。接下来你将学习如何使用这些图像草图求解方程，包括不同类型图像之间的交点问题。之后你会将这些知识与S9的微积分内容结合，分析驻点、极大值和极小值，用更精确的细节优化你的图像草图。在继续学习之前，请确保你练习绘制两种图像的多个示例，因为这些基础绘图技能在4PM1考试的多个部分（包括代数和微积分题目）中都会频繁考察。