# 多项式与有理函数的图像

> Edexcel 国际IGCSE 进阶纯数学 · 4PM1 (2016 考纲，Higher 级别)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s4-graphs-of-polynomials-and-rational/

本指南将教你绘制多项式图像和分母为线性的有理函数图像，用于备考Edexcel IGCSE 进阶纯数学考试。你将练习识别截距、末端行为和水平/垂直渐近线，并遵循官方考试标注规则。

**先修:** [求解线性和二次方程以找到截距](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-fpm-algebra-solving-equations/); 掌握标准坐标系的标注规范

## 学习目标

- 通过识别形状、截距和末端行为绘制多项式图像
- 识别分母为线性的有理函数的垂直和水平渐近线
- 按照考试标注规范绘制分母为线性的有理函数图像
- 避免图像绘制类题目的常见考试错误

## 绘制多项式图像

**多项式末端行为** — 当 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 时图像延伸的方向，由多项式的次数（偶/奇）和首项系数的符号决定。

绘制多项式图像请遵循3个核心步骤：1. 求解 $f(x)=0$ 找到所有x轴截距，计算 $f(0)$ 得到y轴截距。2. 识别末端行为：偶次多项式的两端指向同一方向，奇次多项式的两端指向相反方向。首项系数为正的多项式右端向上延伸，首项系数为负的多项式右端向下延伸。3. 绘制一条平滑曲线穿过所有截距，匹配末端行为，并标注所有要求的特征。

**例题:** 绘制 $f(x) = x^3 - 4x$ 的图像，标注所有截距并展示正确形状。

1. 求y轴截距：代入 $x=0$，$f(0)=0$，因此y轴截距为 $(0, 0)$
2. 求x轴截距：求解 $x^3 - 4x = 0 \to x(x^2 -4) = 0 \to x(x-2)(x+2)=0$，因此截距为 $(-2, 0)$、$(0, 0)$、$(2, 0)$
3. 识别末端行为：首项是 $x^3$，次数为3（奇数），首项系数为正。因此当 $x \to +\infty$，$f(x) \to +\infty$；当 $x \to -\infty$，$f(x) \to -\infty$
4. 绘制一条平滑曲线穿过所有截距，匹配末端行为。标注图像 $f(x)=x^3 -4x$、坐标轴和所有截距的坐标对。

> **考试提示:** 请务必为每个截距标注完整的坐标对，不要只在坐标轴上标注数值，避免丢失不必要的分数。

*计算器:* allowed

## 识别线性分母有理函数的渐近线

**平行于坐标轴的渐近线** — 垂直渐近线出现在使线性分母为零（该x值处分子不为零）的x坐标处。水平渐近线是当 $x \to \pm\infty$ 时图像趋近的固定y值。

对于形式为 $f(x) = \frac{P(x)}{cx + d}$ 的有理函数，其中 $P(x)$ 是多项式且分母为线性：1. 垂直渐近线：求解 $cx + d = 0$ 得到 $x = -\frac{d}{c}$。2. 水平渐近线：如果 $P(x)$ 的次数小于1，$y=0$；如果 $P(x)$ 的次数等于1，$y = \frac{P(x)的首项系数}{c}$。

**例题:** 求 $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ 的垂直渐近线和水平渐近线

1. 求垂直渐近线：令分母等于零：$x - 1 = 0 \to x = 1$
2. 求水平渐近线：分子次数（1）等于分母次数（1）。分子首项系数为2，分母首项系数为1，因此 $y = \frac{2}{1} = 2$
3. 验证：当 $x \to \pm\infty$ 时，常数项可以忽略，因此 $f(x) \approx \frac{2x}{x} = 2$，确认水平渐近线正确。

> **tip**
>
> 在图像草图中，渐近线必须始终画为虚线，并在直线旁清晰标注其方程，才能拿到全部分数。

*计算器:* allowed

## 绘制线性分母有理函数的图像

绘制线性分母有理函数的图像，在求出渐近线后遵循以下步骤：1. 令分子等于零求出x轴截距，代入 $x=0$ 求出y轴截距。2. 代入垂直渐近线两侧的x值进行测试，确定图像在每一侧趋近 $+\infty$ 还是 $-\infty$。3. 绘制图像的两条独立分支，使其趋近渐近线，穿过截距，并标注所有要求的特征。

**例题:** 绘制 $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ 的图像，标注所有截距和渐近线。

1. 使用之前求出的渐近线：为 $x=1$（垂直）和 $y=2$（水平）绘制虚线，并标注两个方程。
2. 求y轴截距：代入 $x=0$，$f(0) = \frac{3}{-1} = -3$，因此截距在 $(0, -3)$
3. 求x轴截距：令分子等于零：$2x + 3 = 0 \to x = -1.5$，因此截距在 $(-1.5, 0)$
4. 测试 $x=1$ 左侧的数值：$x=0.5$ 得到 $f(x) = \frac{4}{-0.5} = -8$，因此左分支在 $x=1$ 附近趋近 $-\infty$，当 $x \to -\infty$ 时趋近 $y=2$，穿过 $(-1.5, 0)$ 和 $(0, -3)$
5. 测试 $x=1$ 右侧的数值：$x=2$ 得到 $f(x)=7$，因此右分支在 $x=1$ 附近趋近 $+\infty$，当 $x \to +\infty$ 时趋近 $y=2$
6. 标注所有截距坐标、坐标轴，并在曲线旁标注函数方程。

> **考试提示:** 即使绘图速度很快，也不要让你的曲线穿过垂直渐近线。如果曲线与垂直渐近线相交，你会被扣分。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 将渐近线画为实线而非虚线
  - 原因: 考试评分标准明确要求渐近线使用虚线以与曲线区分开，每画错一条渐近线扣除1分。
  - 正确做法: 所有渐近线都使用虚线绘制，并在直线旁写出完整的渐近线方程。
- **错误做法:** 忘记在绘制的曲线上标注函数方程
  - 原因: 考试大纲要求你在每条曲线上写出函数方程，因此即使形状正确，未标注的曲线也会被扣分。
  - 正确做法: 绘制完曲线后立即在曲线旁写出完整的函数方程。
- **错误做法:** 假设所有有理函数的水平渐近线都是 $y=0$
  - 原因: 如果分子和分母次数相同，水平渐近线是首项系数的比值，而不是零。
  - 正确做法: 计算水平渐近线时务必比较分子和分母的次数。
- **错误做法:** 为绘制本主题的多项式图像计算驻点
  - 原因: 此处不需要进行驻点分析，在这些计算上浪费时间会占用其他题目的作答时间。
  - 正确做法: 对于本主题的多项式图像绘制，仅使用截距和末端行为即可，除非题目明确要求你求驻点。

## 速查表

| 图像类型 | 核心步骤 | 所需标注 |
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| 多项式 | 1. 求x/y截距 2. 从首项识别末端行为 3. 绘制平滑曲线 | 截距坐标、坐标轴、函数方程、正确形状 |
| 有理函数（线性分母） | 1. 求垂直渐近线（分母=0） 2. 求水平渐近线 3. 求截距 4. 在垂直渐近线两侧测试数值 | 截距坐标、虚线渐近线+方程、坐标轴、函数方程 |

## 下一步

现在你已经掌握了多项式和有理函数图像的绘制方法，可以继续学习Edexcel IGCSE 进阶纯数学S4单元的相关知识点。接下来你将学习如何使用这些图像草图求解方程，包括不同类型图像之间的交点问题。之后你会将这些知识与S9的微积分内容结合，分析驻点、极大值和极小值，用更精确的细节优化你的图像草图。在继续学习之前，请确保你练习绘制两种图像的多个示例，因为这些基础绘图技能在4PM1考试的多个部分（包括代数和微积分题目）中都会频繁考察。

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