对于形如的因式，我应该代入什么值？

令该线性表达式等于0，解出x：。将该值代入f(x)，若结果为0，则是因式，否则所得结果就是f(x)除以的余数。

因式定理与余数定理

Q: 做这些题目我必须使用代数长除法吗？

不需要，对于4PM1 S3T02考点，你可以直接代入因式/余数定理来计算余数和验证因式。确认线性因式后，你仅需通过系数匹配或观察法即可求出三次多项式对应的二次因式。

Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学· S3· 12 分钟阅读

1. 余数定理★★☆☆☆⏱ 3 min

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📘 定义

余数定理

当多项式 $f (x)$ 被线性表达式 $(a x + b)$ 除时，余数等于 $f (- \frac{b}{a})$ 。对于除以 $(a x - b)$ 的情况，余数为 $f (\frac{b}{a})$ 。

例:

将 $f (x)$ 除以 $(x - 3)$ 所得的余数等于 $f (3)$

该定理省去了用代数长除法求线性除式对应余数的步骤，可在考试中节省大量时间。你只需将正确的x值代入多项式，就能直接得到余数。

📐 例题

求 $f (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - x + 4$ 除以 $(2 x - 1)$ 所得的余数。

1
从除式 $(2 x - 1)$ 中识别出 $a = 2$ 、 $b = 1$ ，余数等于 $f (\frac{b}{a}) = f (\frac{1}{2})$ 。
2
$f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 5\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right) + 4$
3
计算每一项： $2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$ ， $5 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ ，总和为 $\frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{2}{4} + \frac{16}{4} = 5$ 。
4
余数为5。

Exam tip:

务必反复检查代换值的符号：对于 $(a x + b)$ 使用 $x = - b / a$ ，对于 $(a x - b)$ 使用 $x = b / a$ 。符号错误是这类题目最常见的失分点。

2. 因式定理★★★☆☆⏱ 3 min

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📘 定义

因式定理

余数定理的特例：若 $f (a) = 0$ ，则 $(x - a)$ 是 $f (x)$ 的因式。对于形如 $(a x + b)$ 的线性因式，若 $f (- \frac{b}{a}) = 0$ ，则 $(a x + b)$ 是 $f (x)$ 的因式。

该定理可让你无需展开或长除法，就能验证给定的线性表达式是否为多项式的因式。在4PM1考试中，三次多项式因式分解题几乎都会给出一个线性因式，你可以先用该定理验证它。

📐 例题

证明 $(x + 2)$ 是 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4$ 的因式。

1
将除式改写为 $(x - (- 2))$ ，因此 $a = - 2$ ，我们需要计算 $f (- 2)$ 。
2
$f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$
3
由于 $f (- 2) = 0$ ，根据因式定理， $(x + 2)$ 是 $f (x)$ 的因式。

Exam tip:

对于要求你“证明(x - a)是因式”的题目，写出上述代换步骤即可拿到满分，无需额外运算。

3. 已知线性因式时分解三次多项式★★★★☆⏱ 4 min

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确认三次多项式的一个线性因式后，你可以将三次式写成该线性因式与形如 $A x^{2} + B x + C$ 的通用二次表达式的乘积。随后通过系数相等或观察法求出A、B、C的值。

📐 例题

已知 $(x + 2)$ 是 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4$ 的因式，将 $f (x)$ 完全分解。

1
将三次式写为给定线性因式与通用二次式的乘积： $x^{3} + 3 x^{2} - 4 = (x + 2) (a x^{2} + b x + c)$ 。
2
对x的各次幂匹配系数：对于 $x^{3}$ 项： $1 = 1 \times a ⟹ a = 1$ ；对于常数项： $- 4 = 2 \times c ⟹ c = - 2$ ；对于 $x^{2}$ 项： $3 = 1 \times b + 2 \times a$ ，代入 $a = 1$ 得 $b = 1$ 。
3
二次因式为 $x^{2} + x - 2$ ，用观察法进一步分解： $x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)$ 。
4
合并所有因式得到完全分解形式： $f (x) = (x + 2)^{2} (x - 1)$ 。

Exam tip:

最后得到分解结果后，快速展开验证是否与原三次式一致。这仅需10秒，就能排查几乎所有系数匹配错误。

4. 混合考试题型应用★★★★☆⏱ 2 min

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📐 例题

已知 $(2 x + 3)$ 是 $f (x) = 6 x^{3} + 11 x^{2} - x - 6$ 的因式，求 $f (x)$ 除以 $(x + 2)$ 的余数，再将 $f (x)$ 完全分解。

1
首先计算除以 $(x + 2)$ 的余数：将 $x = - 2$ 代入 $f (x)$ 。
2
$f(-2) = 6(-2)^3 + 11(-2)^2 - (-2) - 6 = -48 + 44 + 2 - 6 = -8$
3
余数为-8。接下来将三次式写为 $(2 x + 3) (a x^{2} + b x + c)$ ，匹配系数得 $a = 3$ 、 $c = - 2$ 、 $b = 1$ ，因此二次式为 $3 x^{2} + x - 2$ 。
4
分解二次式： $3 x^{2} + x - 2 = (3 x - 2) (x + 1)$ ，完全分解形式为 $f (x) = (2 x + 3) (3 x - 2) (x + 1)$ 。

✓ 快速检测

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 1$ 除以 $(x + 1)$ 的余数是多少？
- A) -11
- B) -3
- C) 9
- D) 11
显示答案
A —
将 $x = - 1$ 代入 $f (x)$ ： $3 (- 1)^{3} - 2 (- 1)^{2} + 5 (- 1) - 1 = - 3 - 2 - 5 - 1 = - 11$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

对于除式 $(a x + b)$ 使用 $x = b / a$ 作为代换值，而非 $x = - b / a$

原因:

整理线性除式求根时出现符号错误，导致余数或因式验证结果错误

正确做法:

始终令线性除式等于0，直接解出x： $a x + b = 0 ⟹ x = - b / a$ ，避免符号错误

错误做法:

在没有给出任何因式的情况下自行尝试寻找三次多项式的线性因式

原因:

4PM1考纲明确要求，本小节所有三次多项式因式分解题都会给出一个线性因式

正确做法:

直接使用题目给出的因式，只有在明确要求无提示求因式时，才尝试代入小整数根

错误做法:

当二次因式还可分解为线性项时，不对其继续分解

原因:

考试题目几乎都要求完全分解，部分分解会导致失分

正确做法:

求出二次因式后，始终检查是否可以通过观察法或二次公式进一步分解

错误做法:

写出二次因式时出现系数匹配错误

原因:

忘记线性因式与二次因式的乘积必须等于原三次式，因此x的各次幂的系数都必须对应相等

正确做法:

先核对常数项（等于线性因式与二次因式常数项的乘积），再展开最终分解结果验证

错误做法:

所有因式/余数验证都使用代数长除法

原因:

长除法比简单代换耗时更长，也更容易出错

正确做法:

代换法用于余数/因式验证，确认线性因式后，仅用系数匹配或观察法求二次因式即可

6. 速查表

任务	规则	代换值
求 $f (x)$ 除以 $(x - a)$ 的余数	余数 = $f (a)$	$x = a$
求 $f (x)$ 除以 $(a x + b)$ 的余数	余数 = $f (- b / a)$	$x = - \frac{b}{a}$
验证 $(x - a)$ 是否为 $f (x)$ 的因式	若 $f (a) = 0$ ，则 $(x - a)$ 是因式	$x = a$
验证 $(a x + b)$ 是否为 $f (x)$ 的因式	若 $f (- b / a) = 0$ ，则 $(a x + b)$ 是因式	$x = - \frac{b}{a}$
已知线性因式 $(a x + b)$ 分解三次多项式	写三次式 = $(a x + b) (A x^{2} + B x + C)$ ，匹配系数	先代换验证因式有效性

7. 常见问题

做这些题目我必须使用代数长除法吗？

不需要，对于4PM1 S3_T02考点，你可以直接代入因式/余数定理来计算余数和验证因式。确认线性因式后，你仅需通过系数匹配或观察法即可求出三次多项式对应的二次因式。

对于形如 $(a x + b)$ 的因式，我应该代入什么值？

令该线性表达式等于0，解出x： $a x + b = 0 ⟹ x = - \frac{b}{a}$ 。将该值代入f(x)，若结果为0，则 $(a x + b)$ 是因式，否则所得结果就是f(x)除以 $(a x + b)$ 的余数。

深入阅读

下一步

掌握因式定理和余数定理后，你就可以继续学习Edexcel IGCSE 进阶纯数学中恒等式与不等式单元的后续子主题了。接下来你将学习使用已分解的三次表达式求解多项式方程，再运用所学知识求解代数不等式。这些定理也是后续三次函数图像绘制、多项式交点求解等主题的基础。请务必练习本小节的历年真题，提升解题速度和准确率，因为这类题目经常和其他代数知识点结合出现在大题中。请反复检查你的代换和系数匹配步骤，避免丢失不必要的分数。