# 因式定理与余数定理

> Edexcel 国际GCSE 进阶纯数学 · 4PM1
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s3-the-factor-and-remainder-theorems/

本指南涵盖Edexcel IGCSE 进阶纯数学（4PM1）S3模块的因式定理与余数定理。你将学习识别多项式的线性因式、计算多项式除法的余数，以及在已知一个因式的条件下分解三次多项式。

**先修:** [基础代数代换与运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s1-algebra-basics/); [二项式与三次式的展开](https://www.owlsprep.com/zh/study/edexcel-igcse-further-pure-math-s2-polynomial-expansion/)

## 学习目标

- 运用余数定理计算多项式被形如$(ax \pm b)$的线性表达式除时的余数
- 使用因式定理验证给定的线性表达式是否为多项式的因式
- 当已知一个线性因式时，将三次表达式完全分解
- 解答符合4PM1考纲要求的关于这两个定理的标准考题

## 余数定理

**余数定理** — 当多项式$f(x)$被线性表达式$(ax + b)$除时，余数等于$f\left(-\frac{b}{a}\right)$。对于除以$(ax - b)$的情况，余数为$f\left(\frac{b}{a}\right)$。

*例:* 将$f(x)$除以$(x - 3)$所得的余数等于$f(3)$

该定理省去了用代数长除法求线性除式对应余数的步骤，可在考试中节省大量时间。你只需将正确的x值代入多项式，就能直接得到余数。

**例题:** 求$f(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + 4$除以$(2x - 1)$所得的余数。

1. 从除式$(2x - 1)$中识别出$a = 2$、$b = 1$，余数等于$f\left(\frac{b}{a}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$。
2. $$f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 5\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right) + 4$$
3. 计算每一项：$2\times\frac{1}{8} = \frac{1}{4}$，$5\times\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$，总和为$\frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{2}{4} + \frac{16}{4} = 5$。
4. 余数为5。

> **考试提示:** 务必反复检查代换值的符号：对于$(ax + b)$使用$x=-b/a$，对于$(ax - b)$使用$x=b/a$。符号错误是这类题目最常见的失分点。

*计算器:* allowed

## 因式定理

**因式定理** — 余数定理的特例：若$f(a) = 0$，则$(x - a)$是$f(x)$的因式。对于形如$(ax + b)$的线性因式，若$f\left(-\frac{b}{a}\right) = 0$，则$(ax + b)$是$f(x)$的因式。

该定理可让你无需展开或长除法，就能验证给定的线性表达式是否为多项式的因式。在4PM1考试中，三次多项式因式分解题几乎都会给出一个线性因式，你可以先用该定理验证它。

**例题:** 证明$(x + 2)$是$f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$的因式。

1. 将除式改写为$(x - (-2))$，因此$a = -2$，我们需要计算$f(-2)$。
2. $$f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$$
3. 由于$f(-2) = 0$，根据因式定理，$(x + 2)$是$f(x)$的因式。

> **考试提示:** 对于要求你“证明(x - a)是因式”的题目，写出上述代换步骤即可拿到满分，无需额外运算。

*计算器:* allowed

## 已知线性因式时分解三次多项式

确认三次多项式的一个线性因式后，你可以将三次式写成该线性因式与形如$Ax^2 + Bx + C$的通用二次表达式的乘积。随后通过系数相等或观察法求出A、B、C的值。

**例题:** 已知$(x + 2)$是$f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$的因式，将$f(x)$完全分解。

1. 将三次式写为给定线性因式与通用二次式的乘积：$x^3 + 3x^2 - 4 = (x + 2)(ax^2 + bx + c)$。
2. 对x的各次幂匹配系数：对于$x^3$项：$1 = 1 \times a \implies a=1$；对于常数项：$-4 = 2 \times c \implies c = -2$；对于$x^2$项：$3 = 1 \times b + 2 \times a$，代入$a=1$得$b=1$。
3. 二次因式为$x^2 + x - 2$，用观察法进一步分解：$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$。
4. 合并所有因式得到完全分解形式：$f(x) = (x + 2)^2(x - 1)$。

> **考试提示:** 最后得到分解结果后，快速展开验证是否与原三次式一致。这仅需10秒，就能排查几乎所有系数匹配错误。

*计算器:* allowed

## 混合考试题型应用

**例题:** 已知$(2x + 3)$是$f(x) = 6x^3 + 11x^2 - x - 6$的因式，求$f(x)$除以$(x + 2)$的余数，再将$f(x)$完全分解。

1. 首先计算除以$(x + 2)$的余数：将$x = -2$代入$f(x)$。
2. $$f(-2) = 6(-2)^3 + 11(-2)^2 - (-2) - 6 = -48 + 44 + 2 - 6 = -8$$
3. 余数为-8。接下来将三次式写为$(2x + 3)(ax^2 + bx + c)$，匹配系数得$a=3$、$c=-2$、$b=1$，因此二次式为$3x^2 + x - 2$。
4. 分解二次式：$3x^2 + x - 2 = (3x - 2)(x + 1)$，完全分解形式为$f(x) = (2x + 3)(3x - 2)(x + 1)$。

**概念自测**

1. $f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1$除以$(x + 1)$的余数是多少？

   - A) -11
   - B) -3
   - C) 9
   - D) 11

   *解析:* 将$x = -1$代入$f(x)$：$3(-1)^3 - 2(-1)^2 +5(-1) -1 = -3 -2 -5 -1 = -11$。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对于除式$(ax + b)$使用$x = b/a$作为代换值，而非$x=-b/a$
  - 原因: 整理线性除式求根时出现符号错误，导致余数或因式验证结果错误
  - 正确做法: 始终令线性除式等于0，直接解出x：$ax + b = 0 \implies x = -b/a$，避免符号错误
- **错误做法:** 在没有给出任何因式的情况下自行尝试寻找三次多项式的线性因式
  - 原因: 4PM1考纲明确要求，本小节所有三次多项式因式分解题都会给出一个线性因式
  - 正确做法: 直接使用题目给出的因式，只有在明确要求无提示求因式时，才尝试代入小整数根
- **错误做法:** 当二次因式还可分解为线性项时，不对其继续分解
  - 原因: 考试题目几乎都要求完全分解，部分分解会导致失分
  - 正确做法: 求出二次因式后，始终检查是否可以通过观察法或二次公式进一步分解
- **错误做法:** 写出二次因式时出现系数匹配错误
  - 原因: 忘记线性因式与二次因式的乘积必须等于原三次式，因此x的各次幂的系数都必须对应相等
  - 正确做法: 先核对常数项（等于线性因式与二次因式常数项的乘积），再展开最终分解结果验证
- **错误做法:** 所有因式/余数验证都使用代数长除法
  - 原因: 长除法比简单代换耗时更长，也更容易出错
  - 正确做法: 代换法用于余数/因式验证，确认线性因式后，仅用系数匹配或观察法求二次因式即可

## 速查表

| 任务 | 规则 | 代换值 |
| --- | --- | --- |
| 求$f(x)$除以$(x - a)$的余数 | 余数 = $f(a)$ | $x = a$ |
| 求$f(x)$除以$(ax + b)$的余数 | 余数 = $f(-b/a)$ | $x = -\frac{b}{a}$ |
| 验证$(x - a)$是否为$f(x)$的因式 | 若$f(a) = 0$，则$(x - a)$是因式 | $x = a$ |
| 验证$(ax + b)$是否为$f(x)$的因式 | 若$f(-b/a) = 0$，则$(ax + b)$是因式 | $x = -\frac{b}{a}$ |
| 已知线性因式$(ax + b)$分解三次多项式 | 写三次式 = $(ax + b)(Ax^2 + Bx + C)$，匹配系数 | 先代换验证因式有效性 |

## 下一步

掌握因式定理和余数定理后，你就可以继续学习Edexcel IGCSE 进阶纯数学中恒等式与不等式单元的后续子主题了。接下来你将学习使用已分解的三次表达式求解多项式方程，再运用所学知识求解代数不等式。这些定理也是后续三次函数图像绘制、多项式交点求解等主题的基础。请务必练习本小节的历年真题，提升解题速度和准确率，因为这类题目经常和其他代数知识点结合出现在大题中。请反复检查你的代换和系数匹配步骤，避免丢失不必要的分数。

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